横浜国立大学 2016年度理系数学第1問(2) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(2)　極限値

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{tan ( \frac{( n + k ) π}{6 n} )}

を求めよ．

出典：横浜国立大学 2016年度前期理系第1問(2)

(2) 和を $k / n$ の関数値の平均と見て，定積分に移す。被積分関数は $cot ((1 + x) π /6)$ であり， $u = (1 + x) π /6$ と置換して $\int cot u d u = lo g sin u$ を用いる。

与えられた和は

\frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{tan ( \frac{π}{6} ( 1 + \frac{k}{n} ) )}

である。したがって， $n \to \infty$ で

\int_{0}^{1} \frac{1}{tan ( \frac{π}{6} ( 1 + x ) )} d x

に収束する。 $u = \frac{π}{6} (1 + x)$ とおくと

\int_{0}^{1} \frac{d x}{tan ( \frac{π}{6} ( 1 + x ) )} = \frac{6}{π} \int_{π /6}^{π /3} \frac{cos u}{sin u} d u = \frac{6}{π} [lo g sin u]_{π /6}^{π /3} .

よって求める極限値は

\frac{6}{π} lo g \frac{sin ( π /3 )}{sin ( π /6 )} = \frac{6}{π} lo g 3 = \frac{3 lo g 3}{π}

である。