横浜国立大学 2016年度理系数学第1問(1) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x) = \frac{lo g ( 1 - x )}{x}$ は $0 < x < 1$ の範囲で減少することを示せ．

出典：横浜国立大学 2016年度前期理系第1問(1)

(1) 導関数の分子を直接評価する。 $x / (1 - x) + lo g (1 - x)$ を補助関数として調べ，これが正であることから $f^{'} (x) < 0$ を示す。

$0 < x < 1$ で

f^{'} (x) = \frac{- \frac{x}{1 - x} - lo g ( 1 - x )}{x ^{2}}

である。ここで

g (x) = \frac{x}{1 - x} + lo g (1 - x)

とおくと，

g^{'} (x) = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{1}{1 - x} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}} > 0

であり， $g (0) = 0$ だから $0 < x < 1$ で $g (x) > 0$ である。したがって

- \frac{x}{1 - x} - lo g (1 - x) = - g (x) < 0

となるので， $f^{'} (x) < 0$ 。よって $f (x)$ は $0 < x < 1$ で減少する。