問題
を正の整数とする。 の正の約数のうち， で割った余りが であるものの個数を ， で割った余りが であるものの個数を とする。
(1) を求めよ。
(2) 任意の正の整数 について であることを示せ。
(3) を満たす正の整数 について， としてありうる値をすべて求めよ。
方針
約数を，素因数の3で割った余りによって分類する。3を因数にもつ約数は余り0なので， には数えられない。余り の素因数は約数の余りを変えず，余り の素因数だけが，選んだ指数の和の偶奇によって余り と余り を分ける。したがって，余り の素因数の指数選択について，偶数和の個数 と奇数和の個数 を比較する。(3)では，少なくとも1つの指数上限が奇数の場合と，すべて偶数の場合で の形が変わることを使う。
解答
(1)
まず である。ここで である。
約数は
と表される。 は3で割った余りが常に1なので，余りを決めるのは の部分である。 も も3で割ると2余るので， が偶数なら余りは1，奇数なら余りは2である。 では偶数の が3個，奇数の が2個ある。 では偶数の が2個，奇数の が1個ある。したがって が偶数になる選び方は 通りであり，奇数になる選び方は 通りである。さらに は0または1の2通りあり，余りを変えない。よって である。
(2)
任意の正の整数 を考える。 の素因数のうち，3そのものの指数は， の個数には直接影響しない。なぜなら，約数が3を因数にもつと，その約数は3で割り切れ，余り1または2にはならないからである。したがって，数えられる約数では3の指数は0に限られる。
3で割って1余る素因数からなる部分の約数の個数を とする。この部分はどのように選んでも3で割った余りが1なので，余り1と余り2の個数を同じ倍率 だけ増やす。
次に，3で割って2余る素因数を とする。この部分の約数は と表される。各 であるから，指数和 が偶数なら余りは1，奇数なら余りは2である。
各 について， の中の偶数の個数は奇数の個数以上である。指数を1つずつ選んでいくとき，偶数和になる選び方の数は奇数和になる選び方の数以上であり，少なくとも差が負になることはない。したがって，3で割って2余る素因数部分について，余り1になる選び方の数を ，余り2になる選び方の数を とすれば である。
全体では であるから， が成り立つ。
(3)
(2)と同じ記号を用いる。3で割って2余る素因数部分について，指数選択の総数を とする。また，指数和が偶数になる選び方の数を ，奇数になる選び方の数を とする。
まず，少なくとも1つの が奇数である場合を考える。このとき，その について の中の偶数の個数と奇数の個数が等しい。したがって全体でも偶数和と奇数和の選び方は同数になり， である。この場合 より， なら である。この値は実際に可能である。たとえば，3で割って2余る素数を1つだけ指数29で含めれば ， となる。
次に，すべての が偶数である場合を考える。このとき各 は奇数なので は奇数であり，偶数和の選び方が奇数和の選び方より1だけ多い。すなわち である。
条件 は であるから である。ここで は奇数なので は偶数である。したがって は偶数でなければならない。 は30の正の約数であるから，可能な は である。
このとき である。したがって，対応する の値は である。これらも実際に可能である。たとえば， となるように，3で割って2余る素数を1つだけ指数 で含め，さらに3で割って1余る素数の指数を調整して約数個数を にすればよい。
以上より， のとき としてありうる値は である。