問題
座標空間の原点を中心とする半径 の球面 を考える。 上の相異なる3点 が次の条件を満たしながら動く。
条件： は 平面上にあり， の重心は である。
を結ぶ線分の中点を とする。
(1) の軌跡を 平面上に図示せよ。
(2) 線分 が通過する範囲を 平面上に図示せよ。
% 図は省略
方針
重心条件を使って，まず を中点 だけで表す。 は 平面上の半径5の円上にあるので， はその弦の中点であり， が球面上にある条件から の軌跡が出る。(2)では，点 が線分 上を通る条件を「ある中点 に対する弦上にある」と言い換える。弦は に垂直なので を満たし，これと の円の条件を消去する。最後に，線分上の点であるため も加える。
解答
(1)
は 平面上にあるので，その中点 も 平面上にある。そこで とおく。重心が であるから，位置ベクトルで である。したがって であり， である。
点 は原点中心，半径5の球面上にあるので を満たす。これを整理すると すなわち である。
逆に， がこの円上にあり，かつ ならば， 平面上の円 に， を中点とする弦 が存在する。円 上では，原点から最も遠い点は であり，この点だけが を満たす。この場合は弦が退化して となるため，条件に合わない。
したがって の軌跡は である。図示すると， 平面上で中心 ，半径2の円から点 を除いたものになる。
(2)
線分 が通過する 平面上の点を とする。中点を と書く。 は原点中心，半径5の円 上にあり， はその弦 の中点である。円の中心と弦の中点を結ぶ直線は弦に垂直であるから，点 が弦 上にあるとき である。すなわち である。
一方，(1)より は を満たす。この式を展開すると である。したがって すなわち を得る。
いま を固定して考える。上の式は 平面の直線であり，これが円 と交わることが，その点 を通る弦が存在するための条件である。円の中心 から直線 までの距離は
である。したがって交わる条件は である。両辺を2乗して整理すると すなわち となる。
さらに，線分 は円 の内部および周上にあるので，通過範囲は も満たす必要がある。逆に，この2条件を満たす点については，上の距離条件により適当な中点 が存在し，その弦上の点として実現できる。
ただし は，(1)で除いた中点 にしか対応せず，その場合は となってしまう。したがって求める範囲は で表される領域から，点 を除いたものである。図示では，半径5の円盤の内側で，双曲線型の境界 の条件を満たす側を塗り，点 を白丸で除く。