東京大学 2026年度理系数学第1問解答・解説

問題

(1) $- 1 ≦ θ ≦ 1$ における関数

f (θ) = sin θ - θ + \frac{θ ^{3}}{6}

の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求めよ。

(2) (1) で求めた最大値 $M$ に対して，次の不等式を示せ。

\frac{7 π}{8} ≦ \int_{0}^{2 π} sin (cos x - x) d x ≦ \frac{7 π}{8} + 4 M .

出典：東京大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は導関数と奇関数性を使って $[- 1, 1]$ での最大・最小を求める。 $0 ≦ θ ≦ 1$ では $f^{''} (θ) = θ - sin θ ≧ 0$ から $f^{'}$ が増加し， $f$ の単調性が分かる。(2)は加法定理で $sin (cos x - x)$ を分解し， $sin t = t - t^{3} /6 + f (t)$ を $t = cos x$ に代入する。残る誤差項は $t f (t) ≧ 0$ と $∣ f (t) ∣ ≦ M$ で上下から評価する。

解答

(1)

関数 $f (θ) = sin θ - θ + \frac{θ ^{3}}{6}$ を考える。導関数は $f^{'} (θ) = cos θ - 1 + \frac{θ ^{2}}{2}$ であり，さらに $f^{''} (θ) = - sin θ + θ$ である。 $0 ≦ θ ≦ 1$ では $sin θ ≦ θ$ だから $f^{''} (θ) = θ - sin θ ≧ 0$ である。したがって $f^{'} (θ)$ は $[0, 1]$ で単調増加する。また $f^{'} (0) = 1 - 1 + 0 = 0$ であるから， $0 ≦ θ ≦ 1$ で $f^{'} (θ) ≧ 0$ である。よって $f$ は $[0, 1]$ で単調増加する。

さらに $sin θ$ ， $- θ$ ， $θ^{3} /6$ はいずれも奇関数なので， $f$ も奇関数である。したがって $[- 1, 1]$ における最大値は $θ = 1$ で，最小値は $θ = - 1$ でとる。ゆえに $M = f (1) = sin 1 - 1 + \frac{1}{6} = sin 1 - \frac{5}{6}$ であり， $m = f (- 1) = - f (1) = - sin 1 + \frac{5}{6}$ である。したがって $M = sin 1 - \frac{5}{6}, m = - sin 1 + \frac{5}{6}$ である。

(2)

以後， $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ を動くとする。(1)より， $f$ は奇関数で， $[0, 1]$ では $f (t) ≧ 0$ ， $[- 1, 0]$ では $f (t) ≦ 0$ である。したがって $t f (t) ≧ 0$ である。また最大値と最小値が $M, - M$ なので $∣ f (t) ∣ ≦ M$ も成り立つ。

加法定理より $sin (cos x - x) = sin (cos x) cos x - cos (cos x) sin x$ である。ここで $\frac{d}{d x} sin (cos x) = - cos (cos x) sin x$ だから

\int_{0}^{2 π} cos (cos x) sin x d x = - [sin (cos x)]_{0}^{2 π} = 0

である。よって $I = \int_{0}^{2 π} sin (cos x - x) d x = \int_{0}^{2 π} sin (cos x) cos x d x$ とおける。 $f (t) = sin t - t + t^{3} /6$ だから $sin t = t - \frac{t ^{3}}{6} + f (t)$ である。ここに $t = cos x$ を代入すると $sin (cos x) cos x = cos^{2} x - \frac{c o s ^{4} x}{6} + f (cos x) cos x$ である。したがって

I = \int_{0}^{2 π} (cos^{2} x - \frac{cos ^{4} x}{6}) d x + \int_{0}^{2 π} f (cos x) cos x d x

である。

第2項について， $t = cos x$ と見れば $t f (t) ≧ 0$ より $f (cos x) cos x ≧ 0$ である。また $f (cos x) cos x ≦ ∣ f (cos x) ∣∣ cos x ∣ ≦ M ∣ cos x ∣$ である。ゆえに

0 ≦ \int_{0}^{2 π} f (cos x) cos x d x ≦ M \int_{0}^{2 π} ∣ cos x ∣ d x = 4 M

である。

一方，標準的な積分値として $\int_{0}^{2 π} cos^{2} x d x = π$ であり，

cos^{4} x = (\frac{1 + cos 2 x}{2})^{2} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{1}{8} cos 4 x

より $\int_{0}^{2 π} cos^{4} x d x = \frac{3 π}{4}$ である。したがって

\int_{0}^{2 π} (cos^{2} x - \frac{cos ^{4} x}{6}) d x = π - \frac{1}{6} \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{7 π}{8}

である。

以上より

\frac{7 π}{8} ≦ \int_{0}^{2 π} sin (cos x - x) d x ≦ \frac{7 π}{8} + 4 M

が成り立つ。

東京大学 2026年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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