東京大学 2026年度
理系数学 第4問

解答

(1)

曲線 $C:y=x^3-kx$ の導関数は $y^{\prime }=3x^2-k$ である。したがって，$x=t$ における接線は $y-(t^3-kt)=(3t^2-k)(x-t)$ すなわち $y=(3t^2-k)x-2t^3$ である。この接線の傾きは $3t^2-k$ である。特に原点 $O$ における接線の傾きは $-k$ である。

条件 $(\ast )$ より，3本の接線のどの2本もなす小さい方の角が $\pi /3$ である。直線の方向角を $(-\pi /2,\pi /2)$ の範囲でとれば，3本の方向角は小さい順に $\theta ,\theta +\frac{\pi }{3},\theta +\frac{2\pi }{3}$ と書ける。ただし3つとも $(-\pi /2,\pi /2)$ に入る必要があるので $-\frac{\pi }{2}<\theta <-\frac{\pi }{6}$ である。

原点以外の点での傾きは $3t^2-k$ であり，これは常に $-k$ 以上である。したがって，最小の傾きに対応するのは原点の接線であり，$-k=\tan \theta$ でなければならない。上の $\theta$ の範囲から $\tan \theta <-\frac{1}{\sqrt{3}}$ であるから，必要条件として $k>\frac{1}{\sqrt{3}}$ を得る。

逆に $k>1/\sqrt{3}$ とする。このとき $-k=\tan \theta$ を満たす $\theta$ をとると，$-\pi /2<\theta <-\pi /6$ である。そこで

とおくと，$-k<b<c$ である。したがって $3p^2-k=b,3q^2-k=c$ を満たす実数 $p,q$ が存在する。$b,c$ は異なるので，対応する接線の傾きも異なり，3本の接線は互いに平行でない。よって条件 $(\ast )$ を満たす2点 $P,Q$ が存在する。

したがって求める $k$ の範囲は $\boxed{k>\frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。

(2)

以下，$k>1/\sqrt{3}$ とする。原点の接線の傾きを $a=-k$ とおき，また

とする。ただし $a=an\theta$ である。さらに $A=b-a,D=c-a$ とおく。このとき $0<A<D$ である。

傾き $b$ に対応する接点の $x$ 座標を $p$ とすると，$3p^2-k=b$ であるから $3p^2=A$ であり，$p=\epsilon \sqrt{\frac{A}{3}}(\epsilon =\pm 1)$ と書ける。同様に，傾き $c$ に対応する接点の $x$ 座標を $q$ とすると $q=\delta \sqrt{\frac{D}{3}}(\delta =\pm 1)$ と書ける。

原点の接線は $y=ax$ である。$p$ における接線は $y=(a+A)x-2p^3$ であり，$q$ における接線は $y=(a+D)x-2q^3$ である。ここで $Y=y-ax$ とおくと，面積は変わらず，3直線は $Y=0,Y=Ax+u,Y=Dx+v$ となる。ただし

である。

直線 $Y=Ax+u$ と $Y=0$ の交点の $x$ 座標は $-\frac{u}{A}=\frac{2\epsilon \sqrt{A}}{3\sqrt{3}}$ であり，直線 $Y=Dx+v$ と $Y=0$ の交点の $x$ 座標は $-\frac{v}{D}=\frac{2\delta \sqrt{D}}{3\sqrt{3}}$ である。したがって底辺の長さは $\frac{2}{3\sqrt{3}}|\delta \sqrt{D}-\epsilon \sqrt{A}|$ である。

また，2本の斜めの直線の交点の $Y$ 座標は

であるから，高さはその絶対値である。よって面積 $S$ は

すなわち $S=\frac{2AD}{27(D-A)}(\delta \sqrt{D}-\epsilon \sqrt{A}{)}^2$ である。 $\epsilon ,\delta$ の符号が同じとき $S=\frac{2AD}{27(D-A)}(\sqrt{D}-\sqrt{A}{)}^2$ であり，符号が異なるとき $S=\frac{2AD}{27(D-A)}(\sqrt{D}+\sqrt{A}{)}^2$ である。したがって最小値 $m$ と最大値 $M$ はそれぞれ

である。

条件 $M=4m$ は ${\left(\frac{\sqrt{D}+\sqrt{A}}{\sqrt{D}-\sqrt{A}}\right)}^2=4$ と同値である。$0<A<D$ より分母は正なので，$\frac{\sqrt{D}+\sqrt{A}}{\sqrt{D}-\sqrt{A}}=2$ であり，$\sqrt{D}+\sqrt{A}=2\sqrt{D}-2\sqrt{A}$ より $3\sqrt{A}=\sqrt{D}$ すなわち $D=9A$ を得る。

最後に $D/A$ を $k$ で表す。$a=-k$ として，(1)の公式を用いると $b=\frac{-k+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$ であるから $A=b-a=b+k=\frac{\sqrt{3}(1+k^2)}{1+\sqrt{3}k}$ である。また $c=\tan \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{k+\sqrt{3}}{\sqrt{3}k-1}$ であるから $D=c-a=c+k=\frac{\sqrt{3}(1+k^2)}{\sqrt{3}k-1}$ である。したがって $\frac{D}{A}=\frac{1+\sqrt{3}k}{\sqrt{3}k-1}$ である。条件 $D=9A$ より $\frac{1+\sqrt{3}k}{\sqrt{3}k-1}=9$ であり，これを解くと $1+\sqrt{3}k=9\sqrt{3}k-9$ だから $10=8\sqrt{3}k$ である。よって $\boxed{k=\frac{5}{4\sqrt{3}}}$ である。この値は $1/\sqrt{3}$ より大きいので，(2)の存在範囲にも含まれる。