東京大学 2025年度文系数学第3問解答・解説

問題

白玉2個が横に並んでいる。投げたとき表と裏のでる確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ のコインを用いて，次の手順(＊)をくり返し，白玉または黒玉を横一列に並べていく。

手順(＊)：コインを投げ，表がでたら白玉，裏がでたら黒玉を，それまでに並べられている一番右にある玉の右隣におく。そして，新しくおいた玉の色がその1つ左の玉の色と異なり，かつ2つ左の玉の色と一致するときには，新しくおいた玉の1つ左の玉を新しくおいた玉と同じ色の玉にとりかえる。

例えば，手順(＊)を2回行いコインが裏，表の順にでた場合には，白玉が4つ並ぶ。正の整数 $n$ に対して，手順(＊)を $n$ 回行った時点での $(n + 2)$ 個の玉の並び方を考える。

(1) $n = 3$ のとき，右から2番目の玉が白玉である確率を求めよ。

(2) $n$ を正の整数とする。右から2番目の玉が白玉である確率を求めよ。

(3) $n$ を正の整数とする。右から1番目と2番目の玉がともに白玉である確率を求めよ。

出典：東京大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

操作後の全体の並びではなく，次の操作に影響する右端2個の色だけを状態にする。状態を $WW, WB, BW, BB$ に分け，表・裏が出たときの推移表を作る。(1)は推移を3回たどる。(2)(3)は各状態の確率を $a_{n}, b_{n}, c_{n}, d_{n}$ とおき， $a_{n} + d_{n}$ と $a_{n} - d_{n}$ に分けて漸化式を解く。右から2番目が白である確率は $a_{n} + b_{n}$ ，右端2個がともに白である確率は $a_{n}$ である。

解答

右端から2個の玉の色だけに注目する。白を $W$ ，黒を $B$ と書き，右から2個の状態を $WW, WB, BW, BB$ で表す。新しく置いた玉によって変化する可能性があるのは，その1つ左の玉だけであるから，次の状態は現在の右端2個だけで決まる。

各状態からの推移は次の通りである。

現在の状態 WW WB BW BB 表が出る WW WW WW BW 裏が出る WB BB BB BB

たとえば $WB$ の状態で表が出ると，並びの末尾が $WBW$ となり，新しく置いた白玉は1つ左の黒玉と異なり，2つ左の白玉と一致する。そのため中央の黒玉が白玉に変わり，右端2個は $WW$ になる。

(1)

初期状態は $WW$ である。推移表を3回用いる。1回後は $WW : \frac{1}{2}, WB : \frac{1}{2}$ である。2回後は

WW : \frac{1}{2}, WB : \frac{1}{4}, BB : \frac{1}{4}

である。さらに3回後は

WW : \frac{3}{8}, WB : \frac{1}{4}, BW : \frac{1}{8}, BB : \frac{1}{4}

となる。

右から2番目の玉が白であるのは，状態が $WW$ または $WB$ のときである。したがって求める確率は $\frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$ である。

(2)

$n$ 回後に状態 $WW, WB, BW, BB$ である確率をそれぞれ $a_{n}, b_{n}, c_{n}, d_{n}$ とおく。初期状態は白玉2個なので $a_{0} = 1, b_{0} = c_{0} = d_{0} = 0$ である。推移表から

a_{n + 1} c_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n} + c _{n}}{2}, = \frac{d _{n}}{2}, b_{n + 1} d_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2}, = \frac{b _{n} + c _{n} + d _{n}}{2}

が成り立つ。

ここで $u_{n} = a_{n} + d_{n}, v_{n} = a_{n} - d_{n}$ とおく。全確率は1なので $a_{n} + b_{n} + c_{n} + d_{n} = 1$ である。したがって

u_{n + 1} = a_{n + 1} + d_{n + 1} = \frac{a _{n} + d _{n} + 2 b _{n} + 2 c _{n}}{2} = \frac{u _{n} + 2 ( 1 - u _{n} )}{2} = 1 - \frac{u _{n}}{2}

である。また $v_{n + 1} = a_{n + 1} - d_{n + 1} = \frac{a _{n} - d _{n}}{2} = \frac{v _{n}}{2}$ である。初期値は $u_{0} = 1, v_{0} = 1$ である。

まず $u_{n + 1} = 1 - u_{n} /2$ を解く。この漸化式の一定値を $u$ とすると $u = 1 - \frac{u}{2}$ より $u = 2/3$ である。よって $u_{n + 1} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{2} (u_{n} - \frac{2}{3})$ となり， $u_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}$ である。また $v_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ である。したがって

a_{n} = \frac{u _{n} + v _{n}}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n} + \frac{1}{2 ^{n + 1}}

を得る。

右から2番目が白である確率は $a_{n} + b_{n}$ である。 $n ≧ 1$ では $b_{n} = a_{n - 1} /2$ だから

a_{n} + b_{n} = a_{n} + \frac{a _{n - 1}}{2} = {\frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n} + \frac{1}{2 ^{n + 1}}} + \frac{1}{2} {\frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n - 1} + \frac{1}{2 ^{n}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{n}}

である。よって求める確率は $\frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{n}}$ である。

(3)

右から1番目と2番目がともに白であるのは，状態が $WW$ のときである。したがって求める確率は $a_{n}$ であり，(2)で求めた式から $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n} + \frac{1}{2 ^{n + 1}}$ である。

東京大学 2025年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2025年度
文系数学第3問