東京大学 2025年度文系数学第2問解答・解説

問題

平面上で $A B = A C = 1$ である二等辺三角形 $A B C$ を考える。正の実数 $r$ に対し， $A, B, C$ それぞれを中心とする半径 $r$ の円3つを合わせた領域を $D_{r}$ とする。ただし，この問いでは，三角形と円は周とその内部からなるものとする。辺 $A B, A C, B C$ がすべて $D_{r}$ に含まれるような最小の $r$ を $s$ ，三角形 $A B C$ が $D_{r}$ に含まれるような最小の $r$ を $t$ と表す。

(1) $∠ B A C = \frac{π}{3}$ のとき， $s$ と $t$ を求めよ。

(2) $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ のとき， $s$ と $t$ を求めよ。

(3) $0 < θ < π$ を満たす $θ$ に対して， $∠ B A C = θ$ のとき， $s$ と $t$ を $θ$ を用いて表せ。

出典：東京大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

頂角を $θ$ ， $α = θ /2$ とおき，底辺 $B C$ の中点を $M$ とする。直角三角形 $A B M$ から $A M = cos α$ ， $B M = sin α$ である。辺を覆う半径 $s$ は，辺上の点から最も近い頂点までの距離の最大値で決まる。三角形全体を覆う半径 $t$ は， $θ ≦ π /2$ では外心までの距離， $θ > π /2$ では底辺上で $A$ と近い底辺端点から等距離になる点で決まる。

解答

一般の頂角 $θ$ について考える。 $α = θ /2$ とし，辺 $B C$ の中点を $M$ とする。三角形は $A M$ に関して対称で，直角三角形 $A B M$ より $A M = cos α, B M = C M = sin α$ である。

まず，辺をすべて含むための半径 $s$ を求める。辺 $A B$ と辺 $A C$ は長さ1であり，それぞれ両端を中心とする円で覆うには少なくとも $r ≧ \frac{1}{2}$ が必要である。

底辺 $B C$ については，対称性により $M$ から $C$ 側へ距離 $x$ だけ進んだ点を考える。ただし $0 ≦ x ≦ sin α$ である。この点から $C$ までの距離は $sin α - x$ ， $A$ までの距離は $x^{2} + cos^{2} α$ である。 $B$ まではさらに遠いので，近い頂点までの距離は $min (sin α - x, x^{2} + cos^{2} α)$ である。 $0 < α ≦ π /4$ のときは $cos α ≧ sin α$ であり，底辺上で最も覆いにくい点は中点 $M$ である。したがって底辺を覆うのに必要な半径は $sin α$ である。 $π /4 < α < π /2$ のときは，底辺上で $sin α - x = x^{2} + cos^{2} α$ となる点が最も覆いにくい。この等式を2乗して整理すると $sin^{2} α - 2 x sin α = cos^{2} α$ だから $x = \frac{s i n ^{2} α - c o s ^{2} α}{2 s i n α}$ である。このときの距離は $sin α - x = \frac{1}{2 s i n α}$ である。

よって

s = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} sin α \frac{1}{2 s i n α} (0 < α ≦ \frac{π}{6}), (\frac{π}{6} < α ≦ \frac{π}{4}), (\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2})

である。

次に，三角形全体を含むための半径 $t$ を求める。 $0 < θ ≦ π /2$ のとき，三角形の外心は三角形の内部または辺上にある。この外心は3頂点から等距離にあり，その距離は外接円の半径

\frac{B C}{2 sin θ} = \frac{2 sin α}{2 sin 2 α} = \frac{1}{2 cos α}

である。これより小さい半径では外心が3つの円のどれにも入らない。一方，この半径なら三角形内の任意の点は少なくとも1つの頂点からこの距離以内にあるので，三角形全体が含まれる。したがって $t = \frac{1}{2 c o s α} (0 < α ≦ \frac{π}{4})$ である。 $π /2 < θ < π$ のとき，外心は三角形の外側に出る。この場合，最も覆いにくい点は底辺 $B C$ 上で， $A$ と近い方の底辺端点から等距離になる点である。先ほどの底辺の計算と同じく，その距離は $\frac{1}{2 s i n α}$ であり，この半径で辺だけでなく三角形の内部も覆われる。よって $t = \frac{1}{2 s i n α} (\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2})$ である。

(1)

$θ = π /3$ のとき $α = π /6$ である。したがって

s = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{2 cos ( π /6 )} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

である。よって $s = \frac{1}{2}, t = \frac{3}{3}$ である。

(2)

$θ = 2 π /3$ のとき $α = π /3$ であり， $α > π /4$ である。したがって $s = t = \frac{1}{2 s i n ( π /3 )} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ である。

(3)

$α = θ /2$ を戻すと，求める一般式は

⎩ ⎨ ⎧ 0 < θ ≦ \frac{π}{3} : \frac{π}{3} < θ ≦ \frac{π}{2} : \frac{π}{2} < θ < π : s = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{2 c o s \frac{θ}{2}}, s = sin \frac{θ}{2}, t = \frac{1}{2 c o s \frac{θ}{2}}, s = t = \frac{1}{2 s i n \frac{θ}{2}}

である。境目 $θ = π /3$ では $sin (θ /2) = 1/2$ ，境目 $θ = π /2$ では $1/ (2 cos (θ /2)) = 1/ (2 sin (θ /2))$ となり，式は連続につながっている。

東京大学 2025年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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文系数学第2問