東京大学 2025年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とする。座標平面において，放物線 $C : y = x^{2}$ 上の点 $P (a, a^{2})$ における $C$ の接線と直交し， $P$ を通る直線を $l$ とおく。 $l$ と $C$ の交点のうち， $P$ と異なる点を $Q$ とおく。

(1) $Q$ の $x$ 座標を求めよ。

$Q$ における $C$ の接線と直交し， $Q$ を通る直線を $m$ とおく。 $m$ と $C$ の交点のうち， $Q$ と異なる点を $R$ とおく。

(2) $a$ がすべての正の実数を動くとき， $R$ の $x$ 座標の最小値を求めよ。

出典：東京大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

放物線 $y = x^{2}$ の $x = u$ における法線を一般形で求める。法線と放物線を連立すると，交点の一方 $x = u$ が因数として出るので，もう一方の $x$ 座標は写像 $u \mapsto - u - \frac{1}{2 u}$ で表せる。この写像を $a$ から $Q$ ，さらに $Q$ から $R$ へ2回使う。最後は $a > 0$ の1変数関数を微分し，端で発散することと符号変化を確認して最小値を決める。

解答

(1) 点 $Q$ の $x$ 座標

放物線 $C : y = x^{2}$ 上の一般の点 $(u, u^{2})$ を考える。接線の傾きは $2 u$ であるから、その法線は

y - u^{2} = - \frac{x - u}{2 u}

である。これと $y = x^{2}$ を連立すると、

x^{2} - u^{2} = - \frac{x - u}{2 u}

となる。左辺を因数分解して整理すれば、

(x - u) (x + u + \frac{1}{2 u}) = 0

を得る。したがって、元の点とは異なる交点の $x$ 座標は $- u - \frac{1}{2 u}$ である。ここで $u = a$ とすればよい。

- a - \frac{1}{2 a}

(2) 点 $R$ の $x$ 座標の最小値

$φ (u) = - u - \frac{1}{2 u}$ とおく。点 $Q$ の $x$ 座標を $q = φ (a)$ とすれば、点 $R$ の $x$ 座標 $X$ は $X = φ (q)$ である。

X (a) = a + \frac{1}{2 a} + \frac{a}{2 a ^{2} + 1} (a > 0)

これを微分すると、

X^{'} (a) = \frac{( 2 a ^{2} - 1 ) ( 4 a ^{4} + 2 a ^{2} + 1 )}{2 a ^{2} ( 2 a ^{2} + 1 ) ^{2}}

$a > 0$ において、分母と $4 a^{4} + 2 a^{2} + 1$ は正である。よって $X^{'} (a)$ の符号は $2 a^{2} - 1$ の符号に一致する。

したがって $X (a)$ は $0 < a < \frac{1}{2}$ で減少し、 $a > \frac{1}{2}$ で増加する。ゆえに $a = \frac{1}{2}$ のとき最小となる。

X (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{2}{4} = \frac{5 2}{4}

最小値は $\frac{5 2}{4}$ である。

東京大学 2025年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1) 点 Q の x 座標

(2) 点 R の x 座標の最小値

東京大学 2025年度
文系数学第1問

(1) 点 $Q$ の $x$ 座標

(2) 点 $R$ の $x$ 座標の最小値