問題
を5以上の奇数とする。平面上の点を中心とする円をとり，それに内接する正角形を考える。個の頂点から異なる4点を同時に選ぶ。ただし，どの4点も等確率で選ばれるものとする。選んだ4点を頂点とする四角形がを内部に含む確率を求めよ。
方針
中心を含まない場合を余事象として数える。円に内接する多角形では，選んだ頂点の凸包が中心を含まないことと，選んだ頂点がある半円内にすべて入ることが対応する。とおくと，ある頂点を時計回りの最初の頂点にしたとき，残り3点はそこから個先までの頂点から選ばれる。が奇数なので反対側の頂点がなく，この最初の頂点は一意に決まる。余事象を通りと数え，総数で割る。
解答
とおく。は5以上の奇数なのでである。4点の選び方の総数は 通りである。
選んだ4点を頂点とする四角形が中心を内部に含まない場合を数える。円周上の点を選んだとき，その凸包が中心を含まないことは，選んだ点がある半円内にすべて入ることと同値である。ここでは奇数なので，正角形の頂点どうしがちょうど直径の両端に来ることはない。したがって「半円の端点に頂点があるかどうか」による重複を気にしなくてよい。
中心を含まない4点を時計回りに見て，その4点のうち最初の頂点を1つ決める。この頂点を固定すると，4点が半円内に入るためには，残り3点はそこから時計回りに個先までの個の頂点の中から選ばれなければならない。逆に，そのように選んだ4点は，最初の頂点から個先までの弧，すなわち中心角 の範囲に入るので，ある半円内に含まれ，中心を内部に含まない。
また，この「時計回りに最初の頂点」は一意に決まる。もし別の選び方で同じ4点を数えられるなら，選んだ4点が同時に2つの異なる半円未満の弧の中で最初の頂点を持つことになるが，これは最小の含有弧の始点が一意であることに反する。
したがって，中心を内部に含まない選び方は 通りである。よって求める確率は である。
を代入して整理する。 であり， であるから，
となる。したがって である。よって である。