東京大学 2024年度文系数学第2問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。必要ならば， $0.3 < lo g_{10} 2 < 0.31$ であることを用いてよい。

(1) $5^{n} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

(2) $5^{m} + 4^{m} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数 $m$ を求めよ。

出典：東京大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

(1)は与えられた $0.3 < lo g_{10} 2 < 0.31$ から $0.69 < lo g_{10} 5 < 0.7$ を作り， $27 lo g_{10} 5 < 19 < 28 lo g_{10} 5$ を示す。(2)は $m = 28$ で成り立つことは(1)から直ちに分かる。最小性の確認では， $m ≦ 27$ なら $5^{m} + 4^{m} ≦ 5^{27} + 4^{27}$ なので， $m = 27$ でも $1 0^{19}$ に届かないことを示せば十分である。 $5^{27}$ でくくり， $1 0^{19} / 5^{27} = 2^{19} / 5^{8}$ と比較する。

解答

(1)

$lo g_{10} 5 = lo g_{10} \frac{10}{2} = 1 - lo g_{10} 2$ である。問題の条件 $0.3 < lo g_{10} 2 < 0.31$ より $0.69 < lo g_{10} 5 < 0.7$ である。

$n = 27$ については $27 lo g_{10} 5 < 27 \cdot 0.7 = 18.9 < 19$ であるから $5^{27} < 1 0^{19}$ である。一方， $n = 28$ については $28 lo g_{10} 5 > 28 \cdot 0.69 = 19.32 > 19$ であるから $5^{28} > 1 0^{19}$ である。したがって， $5^{n} > 1 0^{19}$ となる最小の自然数 $n$ は $28$ である。

(2)

(1)より $5^{28} > 1 0^{19}$ であるから， $m = 28$ なら $5^{28} + 4^{28} > 1 0^{19}$ である。よって，あとは $m ≦ 27$ では成り立たないことを示せばよい。

$m ≦ 27$ では $5^{m} + 4^{m} ≦ 5^{27} + 4^{27}$ なので， $m = 27$ の場合を上から評価する。 $5^{27} + 4^{27} = 5^{27} {1 + (\frac{4}{5})^{27}}$ である。ここで

(\frac{4}{5})^{27} < (\frac{4}{5})^{5} = \frac{1024}{3125} = \frac{128000}{390625} < \frac{133663}{390625}

である。したがって

1 + (\frac{4}{5})^{27} < 1 + \frac{133663}{390625} = \frac{524288}{390625} = \frac{2 ^{19}}{5 ^{8}}

となる。よって $5^{27} + 4^{27} < 5^{27} \cdot \frac{2 ^{19}}{5 ^{8}} = 2^{19} 5^{19} = 1 0^{19}$ である。

以上より， $m ≦ 27$ では不成立で， $m = 28$ では成立する。したがって求める最小の自然数 $m$ は $28$ である。

東京大学 2024年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2024年度
文系数学第2問