東京大学 2024年度
文系数学 第3問

解答

(1)

$A(0,1)$，$P(p,0)$であるから，線分$AP$の中点$M$は $M\left(\frac{p}{2},\frac{1}{2}\right)$ である。

まず，$\angle OAP$を$\alpha$とおく。三角形$AOP$は$O$で直角で，$AO=1,OP=p$であるから $\tan \alpha =p$ である。

次に$\angle PMQ$を傾きで表す。直線$MP$の傾きは $\frac{0-\frac{1}{2}}{p-\frac{p}{2}}=-\frac{1}{p}$ である。また，直線$MQ$の傾きは $\frac{0-\frac{1}{2}}{q-\frac{p}{2}}=-\frac{1}{2q-p}$ である。$p<q$より$2q-p>0$であり，2直線の傾きの差を用いると

である。

条件(ii)より$\angle OAP=\angle PMQ$であり，どちらの角も鋭角なので正接を等しくしてよい。したがって $\frac{2(q-p)}{p(2q-p)+1}=p$ である。両辺を整理すると $2q-2p=2p^{2}q-p^3+p$ より $2q(1-p^2)=p(3-p^2)$ である。$0<p<1$なので$1-p^2>0$であり，$\boxed{q=\frac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}}$ を得る。なお，この式では $\frac{q}{p}=\frac{3-p^2}{2(1-p^2)}>1$ であるから，条件$p<q$にも合っている。

(2)

$q=\frac{1}{3}$を(1)の式に代入すると $\frac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}=\frac{1}{3}$ である。分母を払って $3p(3-p^2)=2(1-p^2)$ となり，整理して $3p^3-2p^2-9p+2=0$ を得る。左辺は $3p^3-2p^2-9p+2=(p-2)(3p^2+4p-1)$ と因数分解できる。$0<p<1$なので$p=2$は不適であり，$3p^2+4p-1=0$ を解く。よって $p=\frac{-4\pm \sqrt{16+12}}{6}=\frac{-2\pm \sqrt{7}}{3}$ であり，正で$0<p<1$を満たすのは $\boxed{p=\frac{\sqrt{7}-2}{3}}$ である。

(3)

三角形$OAP$は底辺$OP=p$，高さ$AO=1$なので $S=\frac{p}{2}$ である。一方，三角形$PMQ$は底辺$PQ=q-p$，高さが$\frac{1}{2}$なので $T=\frac{1}{2}(q-p)\cdot \frac{1}{2}=\frac{q-p}{4}$ である。したがって$S>T$は $\frac{p}{2}>\frac{q-p}{4}$ すなわち $3p>q$ と同値である。

(1)の式を代入して $3p>\frac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}$ を得る。$0<p<1$より$p>0$かつ$2(1-p^2)>0$なので，不等号の向きを変えずに整理できる。両辺を$p$で割り，さらに分母を払うと $6(1-p^2)>3-p^2$ である。よって $3>5p^2$ となる。$p>0$だから，求める範囲は $\boxed{0<p<\frac{\sqrt{15}}{5}}$ である。