問題
を原点とする座標空間において，不等式，，の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち，を満たす部分をとする。
以下，座標空間内の2点，が一致するとき，線分は点を表すものとし，その長さを0と定める。
(1) 座標空間内の点が次の条件(i)，(ii)をともに満たすとき，点が動きうる範囲の体積を求めよ。
(i)
(ii) 線分とは，共有点を持たないか，点のみを共有点に持つ。
(2) 座標空間内の点と点が次の条件(iii)，(iv)，(v)をすべて満たすとき，点が動きうる範囲の体積を求めよ。必要ならば，を満たす実数を用いてよい。
(iii)
(iv) 線分とは共有点を持たない。
(v) 線分とは，共有点を持たないか，点のみを共有点に持つ。
方針
上面 だけは に含まれないので，原点から直進できる範囲は，立方体全体と，上面を通って半径 の球内に出る部分である。(1) は球を6つの面方向に対称分割し，上面方向の球部分から立方体内の四角錐を引くと早い。(2) は で1回曲がれるため， に加えて上面の4本の辺を回り込む4つの合同な追加領域が現れる。1本の上辺について，その辺に垂直な平面で切った断面を考え，半径 ，中心角 の扇形面積を積分する。
解答
(1)
は立方体の表面から上面 を除いた部分である。したがって，線分 が立方体から外へ出る場合，最初に通る面が上面 であれば と交わらず，側面または底面であれば と 以外の点で交わってしまう。
よって は，立方体そのものと，原点中心・半径 の球のうち上面方向へ出る部分からなる。ただし，球の上面方向の部分には，立方体内の四角錐 も含まれるので，外へ出た部分だけを足すときはこの四角錐を引く。
原点から立方体の6つの面を見た領域は対称であり，半径 の球は6つの合同な部分に分けられる。したがって上面方向の球部分の体積は である。また，立方体内で上面を底面とする四角錐の体積は である。よって上面から外へ出る部分の体積は である。
立方体の体積は なので
である。
(2)
とすれば(iii),(iv),(v)は(1)の条件と同じになるので， である。以下， のうち に含まれない追加部分を求める。 で となる場合，線分 は と 以外の点で交わる。その最初の交点は側面4枚のいずれかにある。底面 へ向かう場合は，上面を経由して1回折れ曲がっても長さ 以内で底面の外側へ回り込めないので，追加領域は生じない。したがって，追加部分は上面の4本の辺を回り込む4つの合同な領域である。
そのうち，辺 を回り込む部分の体積を とする。 上の点を とし，平面 で断面を考える。この平面内で，原点中心・半径 の球の断面は，中心 ，半径 の円である。また である。 は上面を通って到達できる点であり，追加部分の最短の折れ線は上辺 上で曲がるものとしてよい。断面内では， から立方体の外側へ回り込める角度は であり，球の制限 は， から外側へ進める長さが 以下であることに対応する。したがってこの断面に現れる追加部分の面積は
である。
よって1本の上辺に対応する追加体積は
である。ここで
である。
また ， とすると である。実際，これは半径 の円 の に対応する部分の面積であり，両側の直角三角形の面積 と中心角 の扇形面積 の和である。
したがって
である。
この追加領域は4本の上辺について合同で，互いに重ならない。よって
である。ただし である。