問題
整式を考える。
(1) を実数を係数とする整式とし，をで割った余りをとおく。をで割った余りとをで割った余りが等しいことを示せ。
(2) ，を実数とし，とおく。をで割った余りをとおき，をで割った余りをとおく。がに等しくなるような，の組をすべて求めよ。
出典：東京大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
(1) は が で割り切れることから， も を因数にもつことを使う。(2) では なので，余りは での値， での導関数の値， での値により一意に決まる。 が でどう変化するかを追い， の必要十分条件として整理する。
解答
(1)
を で割った余りが であるから，ある整式 を用いて と書ける。したがって であり， は で割り切れる。
一方，7乗の差は
と因数分解できる。右辺は を因数にもつので， で割り切れる。よって と は で割った余りが等しい。
(2)
である。2次以下の整式 は，，， の3つで一意に定まる。したがって， で割った余りを調べるにはこの3つを追えばよい。 とおく。 は を で割った余りなので である。さらに は の余りだから
である。 となるための必要十分条件は である。実数 に対して は であり， は偶数なので，解は である。したがって でなければならない。
また のいずれの場合も，式 から が従う。実際， なら左辺は0なので ， なら より である。よって すなわち である。
このとき である。 がともに のいずれかであるためには でなければならない。したがって である。
以上より求める組は である。