問題
座標空間内の4点，，，を考える。
(1) ，，を満たす点の座標を求めよ。
(2) 点から直線に垂線を下ろし，その垂線と直線の交点をとする。をとを用いて表せ。
(3) 点をにより定め，を中心とする半径の球面を考える。が三角形と共有点を持つようなの範囲を求めよ。ただし，三角形は3点，，を含む平面内にあり，周とその内部からなるものとする。
方針
(1) は とおき，3本の内積条件を連立する。(2) は とおいて， から を決め， の一次結合に戻す。(3) は球面が三角形 と交わる条件を，中心 から三角形上の点までの距離の最小値・最大値の範囲として扱う。最小値は辺も含めて調べ，最大値は三角形の頂点で比較する。
解答
(1)
とおく。
である。条件 より なので である。また より であり， より である。 を代入すると だから である。よって である。
(2)
直線 上の点を とおく。， より である。垂線の足なので ，すなわち が成り立つ。ここで だから である。よって であり， となる。
一方
であるから
である。
(3)
定義より
である。球面 が三角形 と共有点をもつためには，三角形 上の点 に対して となるものが存在すればよい。三角形は連結なので，距離の最小値と最大値を求めればよい。
まず辺 上の点を ， とおく。このとき であり，
である。これは で最小となり，その値は である。
辺 上では とおくと であり，最小値は のとき である。辺 上では とおくと となり， では最小値は のとき である。したがって三角形上での距離の最小値の2乗は である。
次に最大値を調べる。 は の2次式であり，三角形の内部で上に凸にはならないので，最大値は頂点で比較すればよい。実際に であるから，最大値の2乗は である。
よって が取りうる範囲は すなわち である。