問題
を原点とする座標平面上で考える。0以上の整数に対して，ベクトルを
と定める。投げたとき表と裏がどちらもの確率で出るコインを回投げて，座標平面上に点を以下の規則(i)，(ii)に従って定める。
(i) はにある。
(ii) を1以上以下の整数とする。が定まったとし，を次のように定める。
● 回目のコイン投げで表が出た場合，
によりを定める。ただし，は1回目から回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
● 回目のコイン投げで裏が出た場合，をと定める。
(1) とする。がにある確率を求めよ。
(2) とする。がにあり，かつ，合計200回のコイン投げで表がちょうど回出る確率をとおく。ただしである。を求めよ。またが最大となるの値を求めよ。
方針
文科第4問と同じ構造で、裏が出た回数によって表の列をブロックに分ける。裏がすでに 回出ている間の表の回数を とすると、最終位置は である。 かつ3方向の和が0なので、原点に戻る条件は3方向それぞれの表の合計が等しいこと。 では表の総数を に分けて数え、 では の場合だけ非負整数解を数える。最後に が最大になる を調べる。
解答
裏が合計 回出たとし、裏がすでに 回出ている間に出た表の回数を とおく。 であり、各 は0以上の整数である。このとき である。
また
である。3方向の表の回数を
とおくと、 となることは と同値である。
(1)
のとき、原点に戻るには表の総数が3の倍数でなければならない。表の回数は のいずれかである。
表が0回のときはすべて裏であり、1通りである。
表が3回のとき、裏は5回である。ブロックは の6個で、各方向には2個ずつのブロックが属する。3方向それぞれについて、2個の非負整数の和が1となればよいので、その数は方向ごとに 通りである。よってこの場合は 通りである。
表が6回のとき、裏は2回である。ブロックは の3個で、3方向に2回ずつ進む必要があるから の1通りである。
したがって有利な出方は 通りである。全事象は 通りなので、求める確率は である。
(2)
表の回数が 回であるとする。原点に戻るには3方向の表の回数が等しくなければならないので、 が3の倍数でないときは である。
以下、 とおく。 なので である。このとき裏の回数は であるから、表のブロック数は 個である。したがって各方向に属するブロックの個数は 個ずつである。
原点に戻るには、各方向で表が 回ずつ出ればよい。よって1つの方向について、 個の非負整数の和が となる解の個数は
である。3方向は独立に選べるので、条件を満たす出方は 通りである。
全事象は 通りであるから
である。
最後に最大となる を求める。 の分母は一定なので、 が最大となる を調べればよい。
である。この比は で1より大きく、 で1より小さい。したがって は で最大となる。よって が最大となる は である。