問題
を原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2点，に対し，点が点から十分離れているとは，
が成り立つことと定義する。
不等式
が表す正方形の領域をとし，その2つの頂点，を考える。さらに，次の条件(i)，(ii)をともに満たす点をとる。
(i) 点は領域の点であり，かつ，放物線上にある。
(ii) 点は，3点のいずれからも十分離れている。
点の座標をとする。
(1) のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 次の条件(iii)，(iv)をともに満たす点が存在しうる範囲の面積を求めよ。
(iii) 点は領域の点である。
(iv) 点は，4点のいずれからも十分離れている。
(3) は(1)で求めた範囲を動くとする。(2)のを最小にするの値を求めよ。
方針
「十分離れていない」点の集合を、各基準点を中心とする一辺2の開正方形として捉える。まず が 内にあり、かつ から十分離れている条件を の範囲に直す。次に の許される面積は、正方形 から の近傍正方形の和集合を除いた面積である。 まわりの正方形が の上辺を越えるかどうかで を境に場合分けし、重なり面積を足し戻して を求める。最後は各区間での増減を調べる。
解答
(1)
は放物線 上にあり、 座標が であるから である。 が領域 にあることから である。
次に、 が から十分離れている条件は である。 なので、これは と同値である。 のとき、点 については であるから十分離れている。また点 については であるから十分離れている。
したがって のとりうる値の範囲は である。
(2)
点 から十分離れていない点の集合は を満たす開正方形である。境界を含むかどうかは面積に影響しないので、以下では面積だけを計算する。
まず から十分離れていない部分を から除く。これらは 内でそれぞれ面積1の正方形になり、互いに面積をもつ重なりはない。したがって、この3点によって除かれる面積は である。
次に から十分離れていない部分を考える。 のとき、 まわりの一辺2の正方形は からはみ出さない。したがってその面積は4である。この正方形と、 まわりの3つの正方形との重なり面積は順に である。よって除かれる面積の和集合を包除原理で数えると
である。 のとき、 まわりの正方形は の上辺 を越える。 内に残る部分の横幅は2、縦の長さは であるから、その面積は である。この部分が まわりの正方形と面積をもって重なることはなく、 まわりの正方形との重なりだけがある。その重なり面積は横幅 、縦幅1より である。したがって
である。
以上より
である。なお ではどちらの式も となり一致する。
(3)
では である。この区間では なので は増加しており、最大でも である。したがって はこの区間で減少する。
一方、 では であるから、 はこの区間で増加する。
よって は境目の で最小になる。