東京大学 2022年度
理系数学 第5問

解答

線分 $AB$ を $z$ 軸のまわりに回転して得られる曲面 $S$ を考える。高さを $z$、$z$ 軸からの距離を $r$ とすると、点 $A(0,0,2)$ は $(r,z)=(0,2)$、点 $B(1,0,1)$ は $(r,z)=(1,1)$ に対応する。したがって $S$ は $r=2-z,1\leqq z\leqq 2$ で表される。 $S$ 上の点 $P$ の水平成分を $\mathbf{p}$ とすると $|\mathbf{p}|=2-z$ である。$Q$ は $xy$ 平面上にあるので、$Q$ の水平成分を $\mathbf{q}$ とすると $P{Q}^2=|\mathbf{q}-\mathbf{p}{|}^2+z^2$ である。条件 $PQ=2$ より $|\mathbf{q}-\mathbf{p}|=\sqrt{4-z^2}$ である。

中点 $M$ の高さを $Z=\frac{z}{2}$ とおくと $\frac{1}{2}\leqq Z\leqq 1$ である。また $M$ の水平成分は

と書ける。ここで $\mathbf{p}$ は長さ $R=2-z=2(1-Z)$ のベクトルとして任意の向きをとり、$(\mathbf{q}-\mathbf{p})/2$ は長さ $s=\frac{1}{2}\sqrt{4-z^2}=\sqrt{1-Z^2}$ のベクトルとして任意の向きをとる。

したがって高さ $Z$ における $M$ の水平距離 $\rho$ は、2つのベクトルの和の長さとして $|R-s|\leqq \rho \leqq R+s$ をちょうど動く。よって高さ $Z$ での断面は円環であり、その面積 $A(Z)$ は

である。ここでは $R$ と $s$ の大小にかかわらず、内半径は $|R-s|$ なので同じ式でよい。

したがって求める体積 $V$ は $V={\int }_{1/2}^{1}8\pi (1-Z)\sqrt{1-Z^2}dZ$ である。必要な積分を計算すると

であり、また

である。よって

となる。

したがって

である。

別解。中点 $M$ から逆に条件を見ても同じ断面が得られる。$M$ の高さを $Z$ とすると、$P$ の高さは $2Z$ でなければならない。したがって $P$ の水平成分 $\mathbf{p}$ は $|\mathbf{p}|=2-2Z=2(1-Z)$ を満たす。

また $M$ の水平成分を $\mathbf{m}$ とすると、$Q=2M-P$ である。条件 $PQ=2$ は $|P-M|=1$ と同値であり、$P$ と $M$ の高さの差は $Z$ であるから $|\mathbf{m}-\mathbf{p}|=\sqrt{1-Z^2}$ である。つまり高さ $Z$ の断面は、半径 $2(1-Z)$ の円周上の各点を中心とする半径 $\sqrt{1-Z^2}$ の円の和集合である。これは $\left|2(1-Z)-\sqrt{1-Z^2}\right|\leqq \rho \leqq 2(1-Z)+\sqrt{1-Z^2}$ を満たす円環であり、断面積は主解と同じく $8\pi (1-Z)\sqrt{1-Z^2}$ である。以後の積分は主解と同じで、体積は $\frac{4{\pi }^2}{3}-2\sqrt{3}\pi$ となる。