東京大学 2022年度理系数学第4問解答・解説

問題

座標平面上の曲線

C : y = x^{3} - x

を考える。

(1) 座標平面上のすべての点 $P$ が次の条件(i)を満たすことを示せ。

(i) 点 $P$ を通る直線 $l$ で，曲線 $C$ と相異なる3点で交わるものが存在する。

(2) 次の条件(ii)を満たす点 $P$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

(ii) 点 $P$ を通る直線 $l$ で，曲線 $C$ と相異なる3点で交わり，かつ，直線 $l$ と曲線 $C$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。

出典：東京大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

任意の点を通る傾き $m$ の直線を取り、曲線との差を三次式 $F (x) = x^{3} - (m + 1) x + m p - q$ にする。(1)は $m + 1$ を十分大きくし、三次式の極大値と極小値の符号が逆になることから3つの実根を作る。(2)は交点の $x$ 座標を $α < β < γ$ とし、三次式に $x^{2}$ 項がないので $α + β + γ = 0$ を使う。等面積条件は符号付き積分が0であることに等しく、外側2根の中点 $h = (α + γ) /2$ を置くと $h = 0$ が導かれる。最後に、根が $- t, 0, t$ となる直線群を点の範囲に翻訳する。

解答

(1)

任意の点 $P (p, q)$ をとる。 $P$ を通る傾き $m$ の直線を $y = m (x - p) + q$ とする。この直線と曲線 $C : y = x^{3} - x$ の交点の $x$ 座標は $x^{3} - x = m (x - p) + q$ すなわち $F (x) = x^{3} - (m + 1) x + m p - q = 0$ を満たす。 $M = m + 1$ とおくと $F (x) = x^{3} - M x + (M - 1) p - q$ である。 $M > 0$ のとき、 $F^{'} (x) = 3 x^{2} - M$ なので、 $F (x)$ は $x = \pm \frac{M}{3}$ で極値をとる。 $s = M /3$ とおくと

F (- s) F (s) = - s^{3} + M s + (M - 1) p - q = \frac{2 M}{3} s + (M - 1) p - q, = s^{3} - M s + (M - 1) p - q = - \frac{2 M}{3} s + (M - 1) p - q .

ここで $\frac{2 M}{3} s = \frac{2}{3 3} M^{3/2}$ であり、 $(M - 1) p - q$ は $M$ の1次式である。したがって $M$ を十分大きくとれば $F (- s) > 0, F (s) < 0$ が成り立つ。

また三次式 $F (x)$ は最高次係数が正なので $lim_{x \to - \infty} F (x) = - \infty, lim_{x \to \infty} F (x) = \infty$ である。よって中間値の定理より、 $(- \infty, - s)$ 、 $(- s, s)$ 、 $(s, \infty)$ のそれぞれに $F (x) = 0$ の解が少なくとも1つ存在する。三次方程式なので解はちょうど3つであり、互いに異なる。

したがって、点 $P$ を通り、曲線 $C$ と相異なる3点で交わる直線が存在する。

(2)

条件(ii)を満たす直線 $l$ があり、 $l$ と $C$ の3交点の $x$ 座標を $α < β < γ$ とする。直線を $y = ux + v$ と書くと、交点の $x$ 座標は $x^{3} - x = ux + v$ すなわち $x^{3} - (u + 1) x - v = 0$ の3解である。この三次方程式には $x^{2}$ の項がないので $α + β + γ = 0$ である。

曲線と直線の差は、最高次係数を比べると $x^{3} - x - (ux + v) = (x - α) (x - β) (x - γ)$ である。区間 $(α, β)$ ではこの値は正、区間 $(β, γ)$ では負である。したがって2つの部分の面積が等しいことは $\int_{α}^{γ} (x - α) (x - β) (x - γ) d x = 0$ と同値である。

ここで $h = \frac{α + γ}{2}, d = \frac{γ - α}{2} > 0$ とおく。 $α + β + γ = 0$ より $β = - 2 h$ である。 $x = h + w$ とおくと、 $x = α$ は $w = - d$ 、 $x = γ$ は $w = d$ に対応し、 $(x - α) (x - β) (x - γ) = (w^{2} - d^{2}) (w + 3 h)$ となる。よって

\int_{α}^{γ} (x - α) (x - β) (x - γ) d x = \int_{- d}^{d} (w^{2} - d^{2}) (w + 3 h) d w = 3 h \int_{- d}^{d} (w^{2} - d^{2}) d w = 3 h (\frac{2 d ^{3}}{3} - 2 d^{3}) = - 4 h d^{3} .

これが0で、かつ $d > 0$ であるから $h = 0$ である。したがって $α + γ = 0, β = 0$ である。

よって3交点の $x$ 座標は、ある $t > 0$ を用いて $- t, 0, t$ と表される。この3点は曲線上の $(- t, - t^{3} + t), (0, 0), (t, t^{3} - t)$ であり、これらを通る直線は $y = (t^{2} - 1) x$ である。ここで $t > 0$ なので傾き $t^{2} - 1$ は $t^{2} - 1 > - 1$ を満たす。

逆に、傾き $m > - 1$ の原点を通る直線 $y = m x$ をとると、 $m = t^{2} - 1$ を満たす $t > 0$ が存在し、上の議論により条件(ii)を満たす。

したがって条件(ii)を満たす点 $P (x, y)$ の範囲は、傾きが $- 1$ より大きい原点通過直線全体の和である。式で表すと ${(x, y) ∣ x > 0, y > - x} \cup {(x, y) ∣ x < 0, y < - x} \cup {(0, 0)}$ である。図示すると、境界直線 $y = - x$ は原点以外を含まず、 $x > 0$ 側ではその上側、 $x < 0$ 側ではその下側を塗る領域である。

% 図は省略

東京大学 2022年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2022年度
理系数学第4問