問題
放物線のうちをみたす部分をとする。座標平面上の原点と点を考える。
(1) 点が上を動くとき，
をみたす点の軌跡を求めよ。
(2) 点が上を動き，点が線分上を動くとき，
をみたす点が動く領域を座標平面上に図示し，その面積を求めよ。
% 図は省略
出典：東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
， とおく。(1)は から媒介変数を消去すればよい。(2)では ， とおき， を得る。高さ を固定すると から2つの横区間が現れるため，その和集合の長さを求める。低い部分では2区間が重なり，高い部分では分かれるので，境目 で積分を分ける。
解答
(1)
とおく。ただし である。 より である。 とおくと ， なので， を消去して を得る。また より である。したがって軌跡は で表される放物線の一部である。
(2)
とおく。ただし である。このとき である。 とおくと， である。さらに より， とおけば である。高さ を固定すると， の動く範囲は となる。
2つの区間が重なる条件は であり，すなわち である。これは に対応する。この範囲で横幅は である。一方， では2つの区間が分かれ，横幅はそれぞれの長さの和で である。
したがって求める面積は である。第一項は
であり，第二項は である。よって面積は である。領域は高さ の範囲で，上の横区間の和集合として描ける。
別解。2つの符号 ， からできる領域を別々に見ると，それぞれは高さ で横幅1をもつので，面積はそれぞれ2である。重なりは で起こり，その横幅は である。したがって重なりの面積は
となる。よって和集合の面積は である。