東京大学 2018年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a > 0$ とし，

f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x

とおく。

(1) $x ≧ 1$ で $f (x)$ が単調に増加するための， $a$ についての条件を求めよ。

(2) 次の2条件をみたす点 $(a, b)$ の動きうる範囲を求め，座標平面上に図示せよ。
条件1：方程式 $f (x) = b$ は相異なる3実数解をもつ。
条件2：さらに，方程式 $f (x) = b$ の解を $α < β < γ$ とすると $β > 1$ である。

% 図は省略

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

導関数 $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a^{2})$ から増減を読む。(1)は区間 $x ≧ 1$ で $x^{2} - a^{2} ≧ 0$ が常に成り立つ条件に直す。(2)は極大値 $f (- a) = 2 a^{3}$ ，極小値 $f (a) = - 2 a^{3}$ により3実数解の条件を先に出す。中央の解 $β$ は減少区間 $(- a, a)$ 上の交点なので， $β > 1$ をいうには $a > 1$ とし，減少性に注意して $b < f (1)$ へ変換する。最後に下端 $- 2 a^{3}$ と上端 $1 - 3 a^{2}$ の大小も確認する。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a^{2} = 3 (x^{2} - a^{2})$ である。 $x ≧ 1$ における $x^{2}$ の最小値は $1$ であるから，この区間で常に $f^{'} (x) ≧ 0$ となる条件は $1 - a^{2} ≧ 0$ である。 $a > 0$ より $0 < a ≦ 1$ を得る。このとき実際に $x ≧ 1$ で $x^{2} ≧ 1 ≧ a^{2}$ だから， $f (x)$ は単調に増加する。

(2)

導関数の符号より， $f (x)$ は $(- \infty, - a)$ で増加し， $(- a, a)$ で減少し， $(a, \infty)$ で増加する。また $f (- a) = 2 a^{3}, f (a) = - 2 a^{3}$ である。したがって方程式 $f (x) = b$ が相異なる3実数解をもつ条件は，水平線 $y = b$ が極大値と極小値の間を通ることであり， $- 2 a^{3} < b < 2 a^{3}$ である。このとき3つの解 $α < β < γ$ のうち，中央の解 $β$ は減少区間 $(- a, a)$ にある。 $β > 1$ となるには，まず $1$ が減少区間内に入る必要があるので $a > 1$ である。このもとで $(- a, a)$ 上では $f$ が減少するから， $β > 1$ は $f (β) < f (1)$ すなわち $b < 1 - 3 a^{2}$ と同値である。よって候補は $a > 1, - 2 a^{3} < b < 2 a^{3}, b < 1 - 3 a^{2}$ である。

ここで $a > 1$ のとき $(1 - 3 a^{2}) - (- 2 a^{3}) = 2 a^{3} - 3 a^{2} + 1 = (a - 1)^{2} (2 a + 1) > 0$ かつ $1 - 3 a^{2} < 2 a^{3}$ である。したがって上の条件は $a > 1, - 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2}$ に整理される。図では $a > 1$ の範囲で，曲線 $b = - 2 a^{3}$ の上側，曲線 $b = 1 - 3 a^{2}$ の下側の開領域である。

別解。(2)では中央の解そのものを $β = t$ とおいてもよい。中央の解は $- a < t < a$ を動き，条件 $β > 1$ は $1 < t < a$ である。固定した $a > 1$ に対して $b = f (t)$ とおくと， $f$ は $(1, a)$ で減少するので $f (a) < b < f (1)$ すなわち $- 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2}$ となる。これに $a > 1$ を合わせて同じ範囲を得る。

東京大学 2018年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2018年度
文系数学第3問