東京大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

数列 $a_{1}, a_{2}, \dots\dots$ を

a_{n} = \frac{_{2 n} C _{n}}{n !} (n = 1, 2, \dots\dots)

で定める。

(1) $a_{7}$ と1の大小を調べよ。

(2) $n ≧ 2$ とする。 $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1$ をみたす $n$ の範囲を求めよ。

(3) $a_{n}$ が整数となる $n ≧ 1$ をすべて求めよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

まず $_{2 n} C_{n}$ と $_{2 n - 2} C_{n - 1}$ の比を階乗で展開し， $a_{n} / a_{n - 1}$ を $n$ だけの式にする。(1)は直接計算で $a_{7} < 1$ を示す。(2)は比が1未満となる条件を二次不等式に直す。(3)では $n ≧ 4$ で単調減少することと $a_{7} < 1$ を組み合わせ， $n ≧ 7$ を一括で除外する。残る $n = 1$ から $6$ は値を明示し，整数かどうかを判定する。

解答

(1)

a_{7} = \frac{_{14} C _{7}}{7 !} = \frac{3432}{5040} = \frac{143}{210}

である。したがって $a_{7} < 1$ である。

(2)

$n ≧ 2$ とする。階乗で書き直すと

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{_{2 n} C _{n}}{n !} \cdot \frac{( n - 1 )!}{_{2 n - 2} C _{n - 1}}

である。ここで

\frac{_{2 n} C _{n}}{_{2 n - 2} C _{n - 1}} = \frac{( 2 n ) ( 2 n - 1 )}{n ^{2}} = \frac{2 ( 2 n - 1 )}{n}

かつ $(n - 1)! / n! = 1/ n$ なので， $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2 ( 2 n - 1 )}{n ^{2}}$ を得る。よって $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1$ は $2 (2 n - 1) < n^{2}$ すなわち $n^{2} - 4 n + 2 > 0$ と同値である。この二次式の実数解の境目は $2 \pm 2$ であり， $n ≧ 2$ の整数については $n ≧ 4$ である。

(3)

$a_{n} > 0$ であり，(2)より $n ≧ 4$ では $a_{n} < a_{n - 1}$ となる。したがって $a_{4}, a_{5}, \dots$ は単調に減少する。さらに(1)より $a_{7} < 1$ であるから， $n ≧ 7$ では $0 < a_{n} < 1$ となり，整数にはならない。

残る $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ を直接調べる。

n a_{n} 1223 3 \frac{10}{3} 4 \frac{35}{12} 5 \frac{21}{10} 6 \frac{77}{60}

このうち整数であるのは $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ だけである。したがって求める $n$ は $n = 1, 2$ である。

東京大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2018年度
文系数学第2問