問題
座標平面上に放物線を
で定め，領域を
で定める。原点をとおる2直線，はに接するものとする。
(1) 放物線上を動く点と直線，の距離をそれぞれ，とする。が最小値をとるときの点の座標を求めよ。
(2) 次の条件をみたす点の動きうる範囲を求め，座標平面上に図示せよ。
条件：領域のすべての点に対し不等式がなりたつ。
% 図は省略
方針
原点を通る接線は直線を とおいて重解条件で求める。距離 は放物線上の点 から2本の接線への距離なので，平方根を取ると と の一次式になる。最小値は区間 ，， に分けて傾きを見る。(2)は が上方向に無限に広がることからまず を得る。 では各 で最も厳しい点が放物線上にあるため，二次式が常に非正になる条件を判別式で処理し， の端も忘れずに含める。
解答
(1)
原点を通る直線を とおく。この直線と の共有点の 座標は すなわち を満たす。接するためにはこの二次方程式が重解をもてばよいから，判別式より である。したがって であり，接線は ， である。 とおく。直線 への距離は であり，直線 ，すなわち への距離は である。よって
となる。正の定数 は最小点に影響しないので を最小にすればよい。 では で，傾きは である。 では で，傾きは である。 では で，傾きは である。したがって は で最小となる。求める点は である。
(2)
は 方向に上へ無限に広がる。もし なら，固定した で を十分大きくすると は成り立たない。したがって必要条件として を得る。
まず とする。このとき条件は のすべての点で である。領域 には正の をもつ点も負の をもつ点も含まれるから，これは のときに限る。
次に とする。固定した に対して は が小さいほど大きくなるので， 上での最大値は境界 上で生じる。したがって がすべての実数 で成り立つことが必要十分である。 とおくと，これは すなわち がすべての実数 で成り立つ条件に等しい。二次の係数は正なので，判別式が0以下であればよい。よって であり， すなわち を得る。 に戻すと である。 の場合にはこの不等式から が出るので，まとめて求める範囲は である。図では，原点を頂点とし，直線 ， に挟まれた 側の閉じた角領域である。
別解。(2)では のときだけ考えればよい。条件 を境界の放物線上で調べると がすべての で成り立つことになる。これは原点を通る直線 が放物線 の下側にあるという条件であり，二次式 の判別式が0以下であればよい。同じ条件を整理すると となり， の端を加えて同じ範囲を得る。