東京大学 2016年度文系数学第4問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。ただし，(1)については，結論のみを書けばよい。

(1) $n$ を正の整数とし， $3^{n}$ を10で割った余りを $a_{n}$ とする。 $a_{n}$ を求めよ。

(2) $n$ を正の整数とし， $3^{n}$ を4で割った余りを $b_{n}$ とする。 $b_{n}$ を求めよ。

(3) 数列 ${x_{n}}$ を次のように定める。

x_{1} = 1, x_{n + 1} = 3^{x_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)

$x_{10}$ を10で割った余りを求めよ。

出典：東京大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

(1)は $3^{n}$ を10で割った余りの周期4をそのまま書く。(2)は4で割った余りの周期2を使う。(3)では $x_{2} = 3$ 以降， $x_{n}$ が4で割って3余ることを帰納的に示す。すると $x_{10} = 3^{x_{9}}$ の指数 $x_{9}$ は4で割って3余るため，(1)の周期4から1の位が7と分かる。

解答

(1)

$3^{n}$ を10で割った余りは $3, 9, 7, 1$ を周期4で繰り返す。したがって

a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 3971 (n \equiv 1 (mod 4)), (n \equiv 2 (mod 4)), (n \equiv 3 (mod 4)), (n \equiv 0 (mod 4))

である。

(2)

$3 \equiv - 1 (mod 4)$ なので $3^{n} \equiv (- 1)^{n} (mod 4)$ である。よって

b_{n} = {31 (n が奇数), (n が偶数)

である。

(3)

まず $x_{1} = 1, x_{2} = 3^{x_{1}} = 3$ である。ここで， $n ≧ 2$ に対して $x_{n} \equiv 3 (mod 4)$ であることを示す。 $n = 2$ では $x_{2} = 3$ なので成り立つ。もし $x_{n} \equiv 3 (mod 4)$ なら，特に $x_{n}$ は奇数である。(2)より，奇数乗の $3^{x_{n}}$ は4で割って3余るから $x_{n + 1} = 3^{x_{n}} \equiv 3 (mod 4)$ である。したがって帰納法により $x_{n} \equiv 3 (mod 4) (n ≧ 2)$ である。

特に $x_{9} \equiv 3 (mod 4)$ である。よって $x_{10} = 3^{x_{9}}$ を10で割った余りは，(1)の周期4で指数が3に当たる場合だから $7$ である。

別解。 $x_{n}$ を実際に計算する必要はない。10で割った余りを見るには指数を4で割った余りだけが必要であり，その指数 $x_{9}$ の4での余りは(2)で決まる。このように，外側の法を調べるために内側の指数を別の法で見るのが本問の構造である。

東京大学 2016年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2016年度
文系数学第4問