東京大学 2016年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上の2つの放物線

$A : y = x^{2}$

$B : y = - x^{2} + p x + q$

が点 $(- 1, 1)$ で接している。ここで， $p$ と $q$ は実数である。さらに， $t$ を正の実数とし，放物線 $B$ を $x$ 軸の正の向きに $2 t$ ， $y$ 軸の正の向きに $t$ だけ平行移動して得られる放物線を $C$ とする。

(1) $p$ と $q$ の値を求めよ。

(2) 放物線 $A$ と $C$ が囲む領域の面積を $S (t)$ とする。ただし， $A$ と $C$ が領域を囲まないときは $S (t) = 0$ と定める。 $S (t)$ を求めよ。

(3) $t > 0$ における $S (t)$ の最大値を求めよ。

出典：東京大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

(1)は接点を通る条件と接線の傾きが等しい条件から $p, q$ を決める。(2)は放物線 $B$ を $(2 t, t)$ だけ平行移動した $C$ の式を出し， $C - A$ が正になる区間があるかを判別式で調べる。2つの放物線の差は下に凸ではなく上に凸の二次式なので，判別式が正のときだけ囲む領域ができる。面積は，根の間隔を使って $D^{3/2} /24$ の形に整理する。(3)は $t (5 - 2 t)$ の最大化に帰着する。

解答

(1)

放物線 $B : y = - x^{2} + p x + q$ が点 $(- 1, 1)$ を通るので $- 1 - p + q = 1$ である。また， $A : y = x^{2}$ の導関数は $2 x$ であり， $x = - 1$ での傾きは $- 2$ である。 $B$ の導関数は $- 2 x + p$ なので， $x = - 1$ での傾きは $2 + p$ である。接しているから $2 + p = - 2$ であり， $p = - 4$ を得る。これを $- 1 - p + q = 1$ へ代入して $- 1 + 4 + q = 1$ より $q = - 2$ である。

(2)

(1)より $B : y = - x^{2} - 4 x - 2$ である。これを $x$ 軸の正の向きに $2 t$ ， $y$ 軸の正の向きに $t$ だけ平行移動する。移動後の放物線 $C$ は，移動前の式に $x - 2 t$ ， $y - t$ を代入して $y - t = - (x - 2 t)^{2} - 4 (x - 2 t) - 2$ である。したがって $C : y = - x^{2} + (4 t - 4) x - 4 t^{2} + 9 t - 2$ である。 $A$ と $C$ の差を $C - A = - 2 x^{2} + (4 t - 4) x - 4 t^{2} + 9 t - 2$ とおく。2つの放物線が領域を囲むには，この二次式が異なる2つの実数解をもち，その間で正になる必要がある。判別式は

D = (4 t - 4)^{2} - 4 (- 2) (- 4 t^{2} + 9 t - 2) = 8 t (5 - 2 t)

である。 $t > 0$ なので， $D > 0$ となるのは $0 < t < \frac{5}{2}$ のときである。このときだけ囲む領域が存在し，それ以外では $S (t) = 0$ である。 $0 < t < 5/2$ とする。交点の $x$ 座標を $α < β$ とすると，根の差は $β - α = \frac{D}{2}$ である。また $C - A = 2 (x - α) (β - x)$ なので，面積は

S (t) = \int_{α}^{β} 2 (x - α) (β - x) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{3} = \frac{D ^{3/2}}{24}

である。 $D = 8 t (5 - 2 t)$ を代入すると

S (t) = \frac{1}{24} {8 t (5 - 2 t)}^{3/2} = \frac{2 2}{3} {t (5 - 2 t)}^{3/2}

である。

したがって

S (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 2}{3} {t (5 - 2 t)}^{3/2} 0 (0 < t < \frac{5}{2}), (t ≧ \frac{5}{2})

である。

(3)

$0 < t < 5/2$ においては， $S (t)$ を最大にするには $t (5 - 2 t)$ を最大にすればよい。平方完成すると $t (5 - 2 t) = - 2 (t - \frac{5}{4})^{2} + \frac{25}{8}$ であるから，最大は $t = \frac{5}{4}$ のときで，最大値は $25/8$ である。

よって $S (t)$ の最大値は $\frac{2 2}{3} (\frac{25}{8})^{3/2} = \frac{125}{24}$ である。

別解。(2)の面積は，交点を直接求めて積分してもよい。ただし根の差だけを使うと，交点の座標を長く書かずに済む。差の二次式が $2 (x - α) (β - x)$ となることを確認すれば，標準積分 $\int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = (β - α)^{3} /6$ で処理できる。

東京大学 2016年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2016年度
文系数学第3問