問題
座標平面上の3点，，が鋭角三角形をなすためのについての条件を求めよ。また，その条件をみたす点の範囲を図示せよ。
% 図は省略
出典：東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
鋭角三角形であることを，各頂点で隣り合う2辺の内積が正であることに直す。点はの原点対称なので，とでの条件は，となり，での条件はとなる。これらをまとめてとし，図示では単位円の内部から，直径がおよびに対応する2つの小円の内部と境界を除く。
解答
三角形が鋭角三角形であるためには，各頂点における2辺のなす角がすべて鋭角であればよい。これは，対応する2つのベクトルの内積がすべて正であることと同値である。
まず頂点での条件を調べる。 であるから
である。したがって，における角が鋭角である条件は である。
次に頂点での条件を調べる。 なので
である。よって が必要十分である。
最後に頂点では であるから
である。したがって である。
以上を合わせると である。前の2つは とまとめられるので，求める条件は である。
図示について述べる。条件は原点中心，半径1の円の内部である。また は であり，中心，半径の円の外部を表す。同様に は であり，中心，半径の円の外部を表す。
したがって，求める点の範囲は，単位円の内部のうち，この2つの小円の内部および境界を除いた部分である。すべて鋭角でなければならないので，どの境界も含まない。
別解。鋭角三角形であることは，各辺について「その辺を直径とする円の外側に，残りの頂点がある」こととしても読める。例えばの角が直角になる境界は，を直径の両端とする円であり，内積計算で得たと一致する。結局，3つの直角境界を越えない条件として同じ領域が得られる。