東京大学 2016年度
文系数学 第2問

解答

(1)

ちょうど5試合目で$A$が優勝するには，4試合目までには2連勝が起きず，5試合目で$A$が4試合目に続いて勝てばよい。

1試合目で$A$が勝つ場合を考えると，2試合目は$A$と$C$の対戦である。ここで$A$が勝つと2連勝で大会が終わるので，2試合目は$C$が勝つ必要がある。以後も4試合目まで優勝を出さないため，勝者は $A,C,B,A$ と決まる。5試合目で$A$が勝てば，$A$の2連勝である。したがって勝者列は $A,C,B,A,A$ に限られる。

各試合の勝敗は確率$1/2$で決まるので，この確率は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$ である。

(2)

優勝が決まる前は，連続する2試合の勝者が同じであってはならない。したがって，勝者は毎試合，直前の勝者とは異なるチームになる。大会方式より，その場合の勝者列は3チームの巡回に限られる。

1試合目で$A$が勝つと，優勝が決まるまでは $A,C,B,A,C,B,\dots$ と巡回する。よって$n$試合目で$A$が優勝するには，$(n-1)$試合目の勝者が$A$でなければならない。この巡回では$(n-1)\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，すなわち $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のときに起こる。

一方，1試合目で$B$が勝つと，優勝が決まるまでは $B,C,A,B,C,A,\dots$ と巡回する。この場合，$(n-1)$試合目の勝者が$A$となるのは $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ のときである。

したがって，$A$がちょうど$n$試合目で優勝する確率は

である。確率が$2^{-n}$になるのは，該当する勝者列が1通りに決まり，その$n$試合すべての勝敗を指定するからである。

(3)

(2)より，$3m$試合以下で$A$が優勝する場合は $n=3j+2(j=0,1,\dots ,m-1)$ または $n=3j+1(j=1,2,\dots ,m-1)$ である。したがって求める確率は ${\sum }_{j=0}^{m-1}\frac{1}{2^{3j+2}}+{\sum }_{j=1}^{m-1}\frac{1}{2^{3j+1}}$ である。第2和を$j=0$からの形に直すと ${\sum }_{j=0}^{m-1}\frac{1}{2^{3j+2}}+{\sum }_{j=0}^{m-2}\frac{1}{2^{3j+4}}$ である。

これを計算すると

であり，整理して $\frac{5\cdot 8^m-12}{14\cdot 8^m}$ となる。したがって求める確率は $\frac{5\cdot 8^m-12}{14\cdot 8^m}$ である。