問題
を自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする。
白球と赤球があわせて1個以上入っている袋に対して，次の操作（＊）を考える。
（＊）袋から球を1個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋の中身が白球個，赤球1個となるようにする。
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋へ戻すことなく，袋の中身はそのままにする。
はじめに袋の中に，白球が個，赤球が1個入っているとする。この袋に対して操作（＊）を繰り返し行う。
回目に取り出した球が赤球である確率をとする。ただし，袋の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。
(1) ，を求めよ。
(2) に対してを求めよ。
(3) を求めよ。
方針
文科第2問と同じ確率漸化式を立てる。初回だけ袋の中身が白球 個、赤球1個であり、2回目以降は前回白球なら白球 個・赤球1個、前回赤球なら赤球なしになる。これにより を得て、定数解 を引いて等比型にする。(3) は から、等比部分の平均が0に消えることを示す。
解答
(1)
はじめ、袋には白球が 個、赤球が1個入っている。したがって である。
2回目に赤球を取り出すためには、1回目に白球を取り出す必要がある。1回目に白球が出る確率は である。その後、袋の中身は白球 個、赤球1個になるので、2回目に赤球を取り出す確率は である。よって である。
(2)
とする。 回目に白球が出る確率は である。この場合、操作後の袋の中身は白球 個、赤球1個なので、次の 回目に赤球が出る確率は である。
一方、 回目に赤球が出た場合、その赤球は袋へ戻されない。直後の袋には赤球がないので、 回目に赤球が出る確率は0である。
したがって である。この式を と変形する。初項は であるから である。よって、 に対して
である。
(3)
(2) の式を用いると
である。
ここで は自然数なので である。したがって等比数列の和は有界であり、具体的には
である。よって、この和を で割ったものは で0に近づく。
したがって である。