問題
1辺の長さが1の正方形を底面とする四角柱を考える。3点，，を，それぞれ辺，辺，辺上に，4点，，，が同一平面上にあるようにとる。四角形の面積をとおく。また，を，をとおく。
(1) をとを用いて表せ。
(2) ，であるとき，の値を求めよ。さらに，のとき，の値を求めよ。
% 図は省略
出典：東京大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
底面を座標平面に置き、縦方向を 軸にとる。、 とおけば、、 と表せる。同一平面条件は、平面 の式 によって を与える。四角形 は平行四辺形なので、隣接2辺の内積公式から を得る。(2) は と から 、 を決める。
解答
(1)
底面の正方形を とおき、四角柱の高さ方向を 軸にとる。 とおく。点 は辺 上にあり、 だから である。同様に、点 は辺 上にあり、 だから である。
点 が平面 上にある条件は、 を通り、、 を含むことから である。点 は辺 上にあるので であり、同一平面条件から となる。
ここで であり、 だから四角形 はこの2つのベクトルで張られる平行四辺形である。したがって
である。各量を計算すると
だから
よって である。
(2)
とおく。 は四角柱の辺上の点で決まる角なので、 である。 より である。したがって であり、 を得る。
また と (1) より であるから である。ここで とおくと、 であり、 である。 を代入して すなわち を得る。これを解くと である。 だから である。したがって である。 は2次方程式 の2つの解である。両辺を6倍して すなわち だから である。
したがって である。さらに のとき、 は で増加するので である。よって である。