問題
，の2人がいる。投げたとき表裏が出る確率がそれぞれのコインが1枚あり，最初はがそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。
(i) がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出ればに1点を与え，コインはがそのまま持つ。裏が出れば，両者に点を与えず，はコインをに渡す。
(ii) がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出ればに1点を与え，コインはがそのまま持つ。裏が出れば，両者に点を与えず，はコインをに渡す。
そして，のいずれかが2点を獲得した時点で，2点を獲得した方の勝利とする。，あわせてちょうど回コインを投げ終えたときにの勝利となる確率を求めよ。
方針
回目に が勝つには、その直前に がコインを持ち、 の得点がちょうど1点で、 はまだ2点に達していない必要がある。コインの持ち主は、それまでに出た裏の個数の偶奇で決まる。そこで 回目までの列を、裏が偶数個で終わること、 の表が1回、 の表が0回または1回であることに分け、裏2個を1組とするブロックで数える。
解答
回目に が勝つには、 回目の直前に がコインを持っており、その時点で の得点がちょうど1点でなければならない。そして 回目に表が出て、 が2点目を得る。
最初から 回目までを考える。この間に出た裏の個数が偶数ならコインは が持ち、奇数なら が持つ。したがって、裏の個数が偶数の状態で出た表は の得点、裏の個数が奇数の状態で出た表は の得点になる。 とする。 回目までの列は、裏の個数が偶数で、 の表が1回、 の表が0回または1回でなければならない。
裏が 回出たとする。すると、 が持っている区間は 個、 が持っている区間は 個ある。 の表はちょうど1回なので、どの の区間で表を出すかは 通りである。 の表が0回のとき、列の長さは であり、個数は 通りである。これは が奇数のときで、 だから個数は である。 の表が1回のとき、列の長さは であり、 のどの区間で表を出すかを選ぶので個数は である。これは が偶数のときで、 だから個数は である。
最後の 回目は表でなければならない。したがって
である。なお奇数の場合は でも右辺は となり、実際その回数では は勝てない。