問題
座標平面上の3点
を考える。
(1) 2つの線分の長さの差はによらない定数であることを示し，その値を求めよ。
(2) を端点としを通る半直線と放物線との交点をとする。点から直線へ下ろした垂線と直線との交点をとする。このとき，線分の長さの和
はによらない定数であることを示し，その値を求めよ。
出典：東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1) は とおき、 と を平方して一次式の平方に変形する。(2) は放物線 の焦点が 、準線が であることを使う。 が同じ半直線上にあるため となり、放物線の焦点・準線の性質で を準線までの距離に置き換える。
解答
(1)
とおく。 より である。
点 は であるから、
である。ここで なので である。したがって である。
同様に である。 より だから である。よって であり、これは によらない。
(2)
放物線 は と書ける。したがって焦点は であり、準線は である。
点 の 座標を とする。 は放物線上の点なので、焦点と準線の性質から である。また は を端点として を通る半直線上にあるので、 はこの順に同一直線上に並ぶ。したがって である。
さらに、 は から直線 に下ろした垂線の足であり、この設定では だから である。よって (1) の結果を用いると
である。したがって は によらず、値は である。