問題
，を実数の定数とする。実数，が
をともに満たすとき，の最小値を求めよ。
出典：東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
まず と平方完成し、点 から制約領域 までの距離の二乗を求める問題に変える。 は半径5の円板を半平面 で切った凸領域であり、最近点は内部、切断直線上、円弧上、または2つの交点 のいずれかに限られる。それぞれの条件を、垂線の足と半径方向の射影が領域内に入るかで判定する。
解答
領域 を考える。平方完成すると である。したがって の最小値は、点 から領域 までの距離の二乗を として である。
以下 とおく。直線 と円 の交点は である。
まず、点 自身が に含まれる場合、すなわち のときは であるから、最小値は である。
次に で、直線 への垂線の足が円板内にある場合を考える。直線までの距離の二乗は である。また垂線の足の原点からの距離の二乗は なので、この足が円板内にある条件は である。この場合の最小値は である。
次に、円周上の点が最近点になる場合を考える。点 が円の外側にあり、原点から へ向かう半径方向の点 が半平面 に入ればよい。これは すなわち である。この場合、距離は なので、最小値は である。
以上のいずれにも当てはまらない場合、最近点は2つの端点 のどちらかである。それぞれの距離の二乗は である。前者が後者以下である条件は すなわち である。したがって端点 が最近点なら最小値は であり、端点 が最近点なら最小値は である。
以上をまとめると、求める最小値は
である。