東京大学 2013年度文系数学第1問解答・解説

問題

関数 $y = x (x - 1) (x - 3)$ のグラフを $C$ ，原点 $O$ を通る傾き $t$ の直線を $l$ とし， $C$ と $l$ が $O$ 以外に共有点をもつとする。 $C$ と $l$ の共有点を $O$ ， $P$ ， $Q$ とし， $∣ O P ∣$ と $∣ O Q ∣$ の積を $g (t)$ とおく。ただし，それら共有点の1つが接点である場合は， $O$ ， $P$ ， $Q$ のうちの2つが一致して，その接点であるとする。関数 $g (t)$ の増減を調べ，その極値を求めよ。

出典：東京大学 2013年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

直線 $l : y = t x$ との交点条件を立てると、原点以外の共有点の $x$ 座標は二次方程式の2解になる。共有点が実数で存在する $t$ の範囲を判別式で確認し、距離の積は解と係数の関係から $∣ α β ∣ (1 + t^{2})$ と表す。絶対値により $t = 3$ で式が分かれるため、 $[- 1, 3]$ と $[3, \infty)$ に分けて微分し、増減と極値を整理する。

解答

直線 $l$ は $y = t x$ である。曲線 $C$ との共有点の $x$ 座標は $x (x - 1) (x - 3) = t x$ を満たす。整理すると $x {x^{2} - 4 x + 3 - t} = 0$ である。 $x = 0$ が原点 $O$ に対応する。原点以外の共有点の $x$ 座標は $x^{2} - 4 x + 3 - t = 0$ の解である。この二次方程式が実数解をもつための条件は $16 - 4 (3 - t) = 4 (1 + t) ≧ 0$ であるから $t ≧ - 1$ である。

原点以外の2つの共有点の $x$ 座標を $α, β$ とする。接する場合や一方が原点と一致する場合も、重複を込めてこの2解で扱う。解と係数の関係より $α β = 3 - t$ である。直線 $y = t x$ 上の点 $(x, t x)$ の原点からの距離は $x^{2} + t^{2} x^{2} = ∣ x ∣ 1 + t^{2}$ であるから、 $g (t) = ∣ α ∣ 1 + t^{2} \cdot ∣ β ∣ 1 + t^{2} = ∣3 - t ∣ (1 + t^{2})$ である。

したがって

g (t) = {(3 - t) (1 + t^{2}) (t - 3) (1 + t^{2}) (- 1 ≦ t ≦ 3), (3 ≦ t)

である。 $- 1 ≦ t ≦ 3$ では $g^{'} (t) = - (1 + t^{2}) + 2 t (3 - t) = - 3 t^{2} + 6 t - 1$ であり、 $g^{'} (t) = 0$ となるのは $t = 1 \pm \frac{6}{3}$ である。ここで $u = 1 - \frac{6}{3}, v = 1 + \frac{6}{3}$ とおくと、 $- 1 < u < v < 3$ である。 $3 ≦ t$ では $g^{'} (t) = (1 + t^{2}) + 2 t (t - 3) = 3 t^{2} - 6 t + 1$ であり、 $t ≧ 3$ では $3 t^{2} - 6 t + 1 = 3 (t - 1)^{2} - 2 > 0$ である。

以上より、 $g (t)$ は

[- 1, u] で減少, [u, v] で増加, [v, 3] で減少, [3, \infty) で増加

である。したがって極小値は $t = u$ と $t = 3$ でとり、 $g (u) = 4 - \frac{4 6}{9}, g (3) = 0$ である。また極大値は $t = v$ でとり、 $g (v) = 4 + \frac{4 6}{9}$ である。

東京大学 2013年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

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文系数学第1問