東京大学 2011年度理系数学第5問解答・解説

問題

$p$ ， $q$ を2つの正の整数とする。整数 $a$ ， $b$ ， $c$ で条件

- q ≦ b ≦ 0 ≦ a ≦ p, b ≦ c ≦ a

を満たすものを考え，このような $a$ ， $b$ ， $c$ を $[a, b; c]$ の形に並べたものを $(p, q)$ パターンと呼ぶ。各 $(p, q)$ パターン $[a, b; c]$ に対して

w ([a, b; c]) = p - q - (a + b)

とおく。

(1) $(p, q)$ パターンのうち， $w ([a, b; c]) = - q$ となるものの個数を求めよ。また， $w ([a, b; c]) = p$ となる $(p, q)$ パターンの個数を求めよ。

以下 $p = q$ の場合を考える。

(2) $s$ を整数とする。 $(p, p)$ パターンで $w ([a, b; c]) = - p + s$ となるものの個数を求めよ。

(3) $(p, p)$ パターンの総数を求めよ。

出典：東京大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$w ([a, b; c]) = p - q - (a + b)$ は $c$ に依存しないので、まず指定された $w$ の値を $a + b$ の条件へ直す。(1) は端の和になり、 $a, b$ は一意に決まる。(2) では $p = q$ として $a + b = p - s$ を固定する。 $a$ の取り得る範囲は $s$ により変わるため、 $s < 0$ 、 $0 ≦ s ≦ p$ 、 $p ≦ s ≦ 2 p$ 、 $s > 2 p$ に分ける。各 $a$ に対して $c$ は $a - b + 1$ 通りである。(3) は (2) の個数を $s$ で合計する。別解として、総数だけなら $b = - j$ と置き、 $a, j$ を直接動かして $a + j + 1$ を二重和にしてもよい。

解答

(1)

$w ([a, b; c]) = - q$ となる条件は $p - q - (a + b) = - q$ すなわち $a + b = p$ である。条件より $0 ≦ a ≦ p$ 、 $b ≦ 0$ なので、 $a + b = p$ となるのは $a = p, b = 0$ の場合に限られる。このとき $c$ は $0 ≦ c ≦ p$ を満たす整数であるから、 $p + 1$ 通りである。

また $w ([a, b; c]) = p$ となる条件は $p - q - (a + b) = p$ すなわち $a + b = - q$ である。条件より $a ≧ 0$ 、 $b ≧ - q$ なので、 $a + b = - q$ となるのは $a = 0, b = - q$ の場合に限られる。このとき $c$ は $- q ≦ c ≦ 0$ を満たす整数であるから、 $q + 1$ 通りである。

したがって答えは $p + 1, q + 1$ である。

(2)

以下 $p = q$ とする。このとき $w ([a, b; c]) = - (a + b)$ である。したがって $w ([a, b; c]) = - p + s$ は $a + b = p - s$ と同値である。

条件 $0 ≦ a ≦ p$ 、 $- p ≦ b ≦ 0$ から $- p ≦ a + b ≦ p$ である。したがって $p - s$ がこの範囲に入らない、すなわち $s < 0$ または $s > 2 p$ のとき、個数は0である。

次に $0 ≦ s ≦ p$ とする。 $b = p - s - a$ とおくと、 $b ≦ 0$ から $a ≧ p - s$ 、また $a ≦ p$ である。よって $p - s ≦ a ≦ p$ である。各 $a$ に対して $c$ は $b ≦ c ≦ a$ を満たす整数であるから、その個数は $a - b + 1 = a - (p - s - a) + 1 = 2 a - p + s + 1$ である。したがって個数は $\sum_{a = p - s}^{p} (2 a - p + s + 1) = (s + 1) (p + 1)$ である。

次に $p ≦ s ≦ 2 p$ とする。このとき $b = p - s - a$ とおくと、 $b ≧ - p$ から $p - s - a ≧ - p$ すなわち $a ≦ 2 p - s$ である。また $a ≧ 0$ なので $0 ≦ a ≦ 2 p - s$ である。各 $a$ に対する $c$ の個数は同じく $2 a - p + s + 1$ であるから、求める個数は $\sum_{a = 0}^{2 p - s} (2 a - p + s + 1)$ である。 $m = 2 p - s$ とおくと $\sum_{a = 0}^{m} (2 a - p + s + 1) = (m + 1) (- p + s + 1) + m (m + 1)$ であり、 $m = 2 p - s$ を戻すと $(2 p - s + 1) (p + 1)$ となる。

以上より、個数は

⎩ ⎨ ⎧ 0 (s + 1) (p + 1) (2 p - s + 1) (p + 1) 0 (s < 0), (0 ≦ s ≦ p), (p ≦ s ≦ 2 p), (s > 2 p)

である。 $s = p$ では中央の2式が同じ値 $(p + 1)^{2}$ を与える。

(3)

(2) の結果を全ての整数 $s$ について足せば、 $(p, p)$ パターンの総数が得られる。ただし $s = p$ を二重に数えないように、後半の和は $s = p + 1$ から始める。

総数 = s = 0 \sum p (s + 1) (p + 1) + s = p + 1 \sum 2 p (2 p - s + 1) (p + 1) = (p + 1) {s = 0 \sum p (s + 1) + s = p + 1 \sum 2 p (2 p - s + 1)} = (p + 1) {\frac{( p + 1 ) ( p + 2 )}{2} + \frac{p ( p + 1 )}{2}} = (p + 1)^{3}

である。したがって $(p + 1)^{3}$ である。

別解。総数だけなら直接数えてもよい。 $b = - j$ とおくと、 $j = 0, 1, \dots, p$ であり、 $a = 0, 1, \dots, p$ である。このとき $c$ は $- j ≦ c ≦ a$ を満たすので、 $a + j + 1$ 通りである。したがって総数は $\sum_{a = 0}^{p} \sum_{j = 0}^{p} (a + j + 1)$ である。これは $(p + 1) \sum_{a = 0}^{p} a + (p + 1) \sum_{j = 0}^{p} j + (p + 1)^{2}$ であり、 $(p + 1) \cdot \frac{p ( p + 1 )}{2} + (p + 1) \cdot \frac{p ( p + 1 )}{2} + (p + 1)^{2} = (p + 1)^{3}$ を得る。

東京大学 2011年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2011年度
理系数学第5問