東京大学 2011年度理系数学第3問解答・解説

問題

$L$ を正定数とする。座標平面の $x$ 軸上の正の部分にある点 $P (t, 0)$ に対し，原点 $O$ を中心とし点 $P$ を通る円周上を， $P$ から出発して反時計回りに道のり $L$ だけ進んだ点を $Q (u (t), v (t))$ と表す。

(1) $u (t)$ ， $v (t)$ を求めよ。

(2) $0 < a < 1$ の範囲の実数 $a$ に対し，積分

f (a) = \int_{a}^{1} {u^{'} (t)}^{2} + {v^{'} (t)}^{2} d t

を求めよ。

(3) 極限 $a \to + 0 lim \frac{f ( a )}{lo g a}$ を求めよ。

出典：東京大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

半径 $t$ の円で弧の長さ $L$ だけ進むので、中心角は $L / t$ である。これにより $Q$ の座標は $(t cos (L / t), t sin (L / t))$ と表せる。次に $u^{'} (t), v^{'} (t)$ を積の微分と合成関数の微分で求めると、平方和の交差項が消えて $1 + L^{2} / t^{2}$ に簡約される。積分は $\int t^{2} + L^{2} / t d t$ であり、原始関数を置いて微分確認する。極限では $a \to + 0$ のとき発散するのは $- L lo g a$ の部分だけであることを取り出す。

解答

(1)

点 $P (t, 0)$ は、原点中心で半径 $t$ の円周上にある。半径 $t$ の円で弧の長さ $L$ だけ進むとき、対応する中心角は $\frac{L}{t}$ である。 $P$ は正の $x$ 軸上の点なので、そこから反時計回りに角 $L / t$ だけ進んだ点 $Q$ の座標は $u (t) = t cos \frac{L}{t}, v (t) = t sin \frac{L}{t}$ である。

(2)

まず微分する。 $d (L / t) / d t = - L / t^{2}$ であるから

u^{'} (t) = cos \frac{L}{t} + t (- sin \frac{L}{t}) (- \frac{L}{t ^{2}}) = cos \frac{L}{t} + \frac{L}{t} sin \frac{L}{t},

また

v^{'} (t) = sin \frac{L}{t} + t cos \frac{L}{t} (- \frac{L}{t ^{2}}) = sin \frac{L}{t} - \frac{L}{t} cos \frac{L}{t}

である。したがって

{u^{'} (t)}^{2} + {v^{'} (t)}^{2} = (cos \frac{L}{t} + \frac{L}{t} sin \frac{L}{t})^{2} + (sin \frac{L}{t} - \frac{L}{t} cos \frac{L}{t})^{2} = cos^{2} \frac{L}{t} + sin^{2} \frac{L}{t} + \frac{L ^{2}}{t ^{2}} (sin^{2} \frac{L}{t} + cos^{2} \frac{L}{t}) = 1 + \frac{L ^{2}}{t ^{2}}

である。 $t > 0$ なので

{u^{'} (t)}^{2} + {v^{'} (t)}^{2} = 1 + \frac{L ^{2}}{t ^{2}} = \frac{t ^{2} + L ^{2}}{t}

となる。

ここで $F (t) = t^{2} + L^{2} + L lo g \frac{t}{t ^{2} + L ^{2} + L}$ とおく。微分すると $\frac{d}{d t} t^{2} + L^{2} = \frac{t}{t ^{2} + L ^{2}}$ であり、また

\frac{d}{d t} lo g \frac{t}{t ^{2} + L ^{2} + L} = \frac{1}{t} - \frac{t}{t ^{2} + L ^{2} ( t ^{2} + L ^{2} + L )}

である。よって整理すると $F^{'} (t) = \frac{t ^{2} + L ^{2}}{t}$ である。したがって $f (a) = \int_{a}^{1} \frac{t ^{2} + L ^{2}}{t} d t = F (1) - F (a)$ である。すなわち

f (a) = 1 + L^{2} - a^{2} + L^{2} + L lo g \frac{1}{1 + L ^{2} + L} - L lo g \frac{a}{a ^{2} + L ^{2} + L}

である。

(3)

$a \to + 0$ のとき $a^{2} + L^{2} \to L$ であり、 $lo g (a^{2} + L^{2} + L) \to lo g (2 L)$ である。一方、 $lo g \frac{a}{a ^{2} + L ^{2} + L} = lo g a - lo g (a^{2} + L^{2} + L)$ である。したがって $f (a)$ のうち $a \to + 0$ で発散する部分は $- L lo g a$ だけであり、残りは有限な値に近づく。

よって $\frac{f ( a )}{l o g a} o - L$ である。したがって $a \to + 0 lim \frac{f ( a )}{lo g a} = - L$ である。

東京大学 2011年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2011年度
理系数学第3問