東京大学 2011年度
理系数学 第1問

解答

(1)

直線 $y=a(x+1)$ は $ax-y+a=0$ と書ける。円 $C$ の中心は $P(0,1)$ で半径は1である。点 $P$ からこの直線までの距離を $d$ とすると $d=\frac{|a\cdot 0-1+a|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{1-a}{\sqrt{1+a^2}}$ である。ここで $0<a<1$ より $1-a>0$ を用いた。

直線と円の交点 $Q,R$ を結ぶ線分は円の弦である。半径1の円で、中心から弦までの距離が $d$ であるから、弦の半分の長さは $\sqrt{1-d^2}$ である。したがって $QR=2\sqrt{1-d^2}$ である。ここで

であるから $QR=2\sqrt{\frac{2a}{1+a^2}}$ となる。 $△PQR$ の底辺を $QR$ とみると、高さは中心 $P$ から直線 $QR$ までの距離 $d$ である。よって

である。したがって $\boxed{S(a)=\frac{(1-a)\sqrt{2a}}{1+a^2}}$ である。

(2)

$0<a<1$ では $S(a)>0$ なので、$S(a)$ を最大にする $a$ は $S(a{)}^2$ を最大にする $a$ と同じである。 $S(a{)}^2=\frac{2a(1-a{)}^2}{(1+a^2{)}^2}$ とおく。これを微分すると $\frac{d}{da}S(a{)}^2=\frac{-2(a-1)(a+1)(a^2-4a+1)}{(1+a^2{)}^3}$ である。$0<a<1$ では分母は正、また $a+1>0$、$a-1<0$ である。したがって符号は $a^2-4a+1$ の符号で決まる。

方程式 $a^2-4a+1=0$ の解は $a=2\pm \sqrt{3}$ である。このうち $0<a<1$ に入るのは $a=2-\sqrt{3}$ だけである。また $a^2-4a+1$ は $0<a<2-\sqrt{3}$ で正、$2-\sqrt{3}<a<1$ で負であるから、$S(a{)}^2$ は前半で増加し後半で減少する。

したがって $S(a)$ が最大となるのは $\boxed{a=2-\sqrt{3}}$ である。