東京大学 2011年度理系数学第2問解答・解説

問題

実数 $x$ の小数部分を， $0 ≦ y < 1$ かつ $x - y$ が整数となる実数 $y$ のこととし，これを記号 $⟨ x ⟩$ で表す。実数 $a$ に対して，無限数列 ${a_{n}}$ の各項 $a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を次のように順次定める。

(i) $a_{1} = ⟨ a ⟩$

(ii) $⎩ ⎨ ⎧ a_{n} \neq = 0 のとき， a_{n + 1} = ⟨ \frac{1}{a _{n}} ⟩, a_{n} = 0 のとき， a_{n + 1} = 0.$

(1) $a = 2$ のとき，数列 ${a_{n}}$ を求めよ。

(2) 任意の自然数 $n$ に対して $a_{n} = a$ となるような $\frac{1}{3}$ 以上の実数 $a$ をすべて求めよ。

(3) $a$ が有理数であるとする。 $a$ を整数 $p$ と自然数 $q$ を用いて $a = \frac{p}{q}$ と表すとき， $q$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して， $a_{n} = 0$ であることを示せ。

出典：東京大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)(2) は小数部分の固定点問題として処理する。(1) では $2 - 1$ が写像 $x \mapsto ⟨ 1/ x ⟩$ の固定点であることを確認する。(2) では $a = ⟨ a ⟩$ から $1/3 ≦ a < 1$ を得て、 $⟨ 1/ a ⟩ = a$ を $1/ a - a$ が整数である条件に直す。(3) は有理数の分母が減ることを示す。 $a_{n} \neq = 0$ のとき既約分数 $a_{n} = r / s$ と表し、 $s = k r + ρ$ と割り算すると、次項は0または $ρ / r$ の小数部分になり、0でない限り既約分母は $s$ より小さくなる。初項の分母は高々 $q$ なので、 $q$ 番目以降は0になる。

解答

(1)

$1 < 2 < 2$ であるから $a_{1} = ⟨ 2 ⟩ = 2 - 1$ である。また $\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1$ であり、 $2 < 2 + 1 < 3$ なので

⟨ \frac{1}{2 - 1} ⟩ = ⟨ 2 + 1 ⟩ = 2 - 1

である。よって $a_{2} = a_{1}$ であり、同じことが繰り返される。したがって $a_{n} = 2 - 1 (n = 1, 2, 3, \dots)$ である。

(2)

任意の自然数 $n$ について $a_{n} = a$ であるとする。特に $a_{1} = ⟨ a ⟩ = a$ だから、 $a$ は小数部分として現れる値であり $0 ≦ a < 1$ である。問題の条件 $a ≧ 1/3$ と合わせて $\frac{1}{3} ≦ a < 1$ を得る。したがって $a \neq = 0$ である。

さらに $a_{2} = a$ であるから $⟨ \frac{1}{a} ⟩ = a$ である。小数部分の定義より、ある整数 $m$ が存在して $\frac{1}{a} = m + a$ と表せる。つまり $\frac{1}{a} - a = m$ である。 $1/3 ≦ a < 1$ より $0 < \frac{1}{a} - a < 3$ なので、整数 $m$ は $m = 1, 2$ のいずれかである。 $m = 1$ のとき $a^{2} + a - 1 = 0$ より、正の解として $a = \frac{5 - 1}{2}$ を得る。 $m = 2$ のとき $a^{2} + 2 a - 1 = 0$ より、正の解として $a = 2 - 1$ を得る。どちらも $1/3 ≦ a < 1$ を満たし、 $⟨ 1/ a ⟩ = a$ も満たす。

したがって求める値は $2 - 1, \frac{5 - 1}{2}$ である。

(3)

$a = p / q$ と表されているとする。 $a_{1} = ⟨ p / q ⟩$ は有理数であり、 $a_{1} \neq = 0$ のとき既約分数で表した分母は高々 $q$ である。もし $a_{1} = 0$ なら、定義より以後もすべて0なので結論は明らかである。

以下、 $a_{n} \neq = 0$ とし、 $a_{n}$ を既約分数で $a_{n} = \frac{r}{s} (0 < r < s)$ と表す。ただし、 $r$ と $s$ は互いに素とする。小数部分なので $0 < a_{n} < 1$ であり、したがって $0 < r < s$ である。 $s$ を $r$ で割って $s = k r + ρ, 0 ≦ ρ < r$ とおく。すると $\frac{1}{a _{n}} = \frac{s}{r} = k + \frac{ρ}{r}$ である。したがって $a_{n + 1} = ⟨ \frac{1}{a _{n}} ⟩$ は、 $ρ = 0$ のとき0であり、 $ρ > 0$ のときは $ρ / r$ を約分した分数である。 $ρ > 0$ の場合、 $a_{n + 1}$ の既約分母は $r$ 以下である。ところが $r < s$ なので、 $a_{n + 1} \neq = 0$ なら既約分母は前の分母 $s$ より真に小さい。

よって、項が0でない間、既約分数で表した分母は正の整数として真に減少し続ける。初項 $a_{1}$ の既約分母は高々 $q$ であるから、 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{q}$ がすべて0でないことはありえない。したがって $a_{q} = 0$ である。いったん0になれば、定義により次項以降も0である。ゆえに $q$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して $a_{n} = 0$ である。

東京大学 2011年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2011年度
理系数学第2問