東京大学 2008年度文系数学第4問解答・解説

問題

$p$ を自然数とする。次の関係式で定められる数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ を考える。

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = p, b_{1} = p + 1, a_{n + 1} = a_{n} + p b_{n} b_{n + 1} = p a_{n} + (p + 1) b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots), (n = 1, 2, 3, \dots) .

(1) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対し，次の2つの数がともに $p^{3}$ で割り切れることを示せ。

a_{n} - \frac{n ( n - 1 )}{2} p^{2} - n p, b_{n} - n (n - 1) p^{2} - n p - 1

(2) $p$ を3以上の奇数とする。このとき， $a_{p}$ は $p^{2}$ で割り切れるが， $p^{3}$ では割り切れないことを示せ。

出典：東京大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

(1)は $a_{n}, b_{n}$ を厳密に求めるのではなく， $p^{3}$ で割った余りだけを同時に追う。主張は $a_{n}$ と $b_{n}$ の2本の合同式に言い換えられるので， $n$ から $n + 1$ への帰納法で示す。計算では $p^{3}$ の倍数になる項をその都度落としてよいが，どの項を落としたか分かる形で整理する。(2)は(1)に $n = p$ を代入し， $p$ が3以上の奇数であるため $(p - 1) /2$ が整数になることを使って， $a_{p} = p^{2} + p^{3} M$ という形にする。

解答

(1)

示すべき2つの式は，次の合同式と同値である。 $a_{n} \equiv n p + \frac{n ( n - 1 )}{2} p^{2} (mod p^{3}),$ $b_{n} \equiv 1 + n p + n (n - 1) p^{2} (mod p^{3}) .$ これを同時に数学的帰納法で示す。 $n = 1$ のとき， $a_{1} = p = 1 \cdot p + \frac{1 \cdot 0}{2} p^{2},$ $b_{1} = p + 1 = 1 + 1 \cdot p + 1 \cdot 0 \cdot p^{2}$ であるから成り立つ。

ある $n$ で成り立つと仮定する。まず

a_{n + 1} = a_{n} + p b_{n} \equiv (n p + \frac{n ( n - 1 )}{2} p^{2}) + p (1 + n p + n (n - 1) p^{2}) (mod p^{3}) \equiv n p + \frac{n ( n - 1 )}{2} p^{2} + p + n p^{2} (mod p^{3}) = (n + 1) p + \frac{n ( n + 1 )}{2} p^{2} (mod p^{3}) .

ここで $p \cdot n (n - 1) p^{2}$ は $p^{3}$ の倍数なので落とした。

次に

b_{n + 1} = p a_{n} + (p + 1) b_{n} \equiv p (n p + \frac{n ( n - 1 )}{2} p^{2}) + (p + 1) (1 + n p + n (n - 1) p^{2}) (mod p^{3}) \equiv n p^{2} + {1 + n p + n (n - 1) p^{2}} + {p + n p^{2}} (mod p^{3}) = 1 + (n + 1) p + n (n + 1) p^{2} (mod p^{3}) .

したがって $n + 1$ でも2つの合同式が成り立つ。数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ で成り立つ。

よって $a_{n} - \frac{n ( n - 1 )}{2} p^{2} - n p$ および $b_{n} - n (n - 1) p^{2} - n p - 1$ はともに $p^{3}$ で割り切れる。

(2)

(1)の $a_{n}$ に関する合同式で $n = p$ とおくと，

a_{p} \equiv p \cdot p + \frac{p ( p - 1 )}{2} p^{2} (mod p^{3}) = p^{2} + \frac{p - 1}{2} p^{3} (mod p^{3}) .

$p$ は奇数であるから $(p - 1) /2$ は整数である。したがって，ある整数 $M$ を用いて $a_{p} = p^{2} + p^{3} M$ と書ける。

この式から $a_{p} = p^{2} (1 + pM)$ であるため， $a_{p}$ は $p^{2}$ で割り切れる。一方， $1 + pM$ は $p$ で割ると $1$ 余るので $p$ では割り切れない。したがって $a_{p}$ は $p^{3}$ では割り切れない。

東京大学 2008年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2008年度
文系数学第4問