問題
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうち4枚を手もとにもっているとき，次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちの4枚の中から1枚を，等確率で選び出し，それを違う色のカードにとりかえる。
最初にもっている4枚のカードは，白黒それぞれ2枚であったとする。以下の(1)，(2)に答えよ。
(1) 操作(A)を4回繰り返した後に初めて，4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 操作(A)を回繰り返した後に初めて，4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
方針
白の枚数そのものを追うと の5状態になるが， と は到達した瞬間に終了であり， と は対称にまとめられる。したがって，未終了のまま白黒が 枚ずつの状態と， 枚対 枚の状態だけを追えばよい。 対 から少数色の1枚を選ぶと初めて同色4枚になり，多数色を選ぶと 対 に戻る。このため終了は偶数回に限られ，2回1組で「戻る」確率 を繰り返した後，最後に確率 で終了する構造になる。
解答
(1)
途中で4枚とも同じ色になったものは，その後の状態を数えないことにする。未終了のまま操作を 回終えた時点で，白黒が 枚ずつである確率を ，白黒が 枚と 枚に分かれている確率を とする。初期状態は白黒2枚ずつなので， である。
白黒2枚ずつの状態では，どのカードを選んでも白黒 枚対 枚になる。したがって，この状態から次に未終了で残る場合は必ず 型である。一方，白黒 枚対 枚の状態では，少数色の1枚を選ぶ確率が で，このとき初めて4枚とも同じ色になる。多数色の3枚のどれかを選ぶ確率が で，このとき白黒2枚ずつに戻る。
よって未終了確率について が成り立ち， 回目に初めて4枚とも同じ色になる確率は である。
4回後に初めて終了する確率を求めるには が必要である。順に
だから，求める確率は である。
(2)
上の漸化式を2回分まとめると である。初期条件から，未終了で 型になるのは偶数回後， 型になるのは奇数回後だけで，
となる。 回後に初めて終了するには， 回後に未終了の 型であり，最後に少数色を選ぶ必要がある。したがって が偶数で のとき， である。 が奇数のときは， 回後が偶数回後なので 型にならず，終了できない。
よって求める確率は
である。
別解。2回を1組として見ると，白黒2枚ずつから1回操作した後は必ず 対 になる。次の1回で終了する確率は ，終了せず白黒2枚ずつに戻る確率は である。したがって， 回目に初めて終了する確率は，最初の 組で戻り続け，最後の組で終了する確率 であり，同じ結果を得る。