東京大学 2008年度文系数学第1問解答・解説

問題

$0 ≦ α ≦ β$ をみたす実数 $α$ ， $β$ と，2次式 $f (x) = x^{2} - (α + β) x + α β$ について， $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1$ が成立しているとする。このとき定積分 $S = \int_{0}^{α} f (x) d x$ を $α$ の式で表し， $S$ がとりうる値の最大値を求めよ。

出典：東京大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

定積分条件では， $x$ の一次の項は $[- 1, 1]$ 上で積分すると消えるため，まず $α β$ だけが決まる。この条件から $α β = \frac{1}{6}$ を得るので， $α = 0$ は起こらず， $β = \frac{1}{6 α}$ として $S$ を $α$ だけの式に直す。最後に，条件 $0 ≦ α ≦ β$ は $α^{2} ≦ \frac{1}{6}$ という上限を与える。最大値はこの範囲で得た三次式の増減を調べ，端点で等号条件 $α = β = \frac{1}{6}$ が実現することまで確認する。

解答

与えられた条件を計算する。 $[- 1, 1]$ では奇関数の積分が $0$ になるので，

\int_{- 1}^{1} {x^{2} - (α + β) x + α β} d x = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x - (α + β) \int_{- 1}^{1} x d x + α β \int_{- 1}^{1} 1 d x = \frac{2}{3} + 2 α β .

これが $1$ に等しいから， $α β = \frac{1}{6}$ である。したがって $α = 0$ は条件に反し， $α > 0$ である。また $β = \frac{1}{6 α}$ と表せる。

次に $S$ を計算する。

S = \int_{0}^{α} {x^{2} - (α + β) x + α β} d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{α + β}{2} x^{2} + α β x]_{0}^{α} = \frac{α ^{3}}{3} - \frac{( α + β ) α ^{2}}{2} + α^{2} β = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) α^{3} + (- \frac{1}{2} + 1) α^{2} β = - \frac{α ^{3}}{6} + \frac{α ^{2} β}{2} .

ここで $α β = \frac{1}{6}$ より $α^{2} β = \frac{α}{6}$ だから， $S = - \frac{α ^{3}}{6} + \frac{α}{12} = \frac{α - 2 α ^{3}}{12}$ である。

残るのは $α$ の範囲である。 $0 < α ≦ β$ と $α β = \frac{1}{6}$ から $α^{2} ≦ α β = \frac{1}{6}$ であり， $0 < α ≦ \frac{1}{6}$ である。この範囲で

\frac{d}{d α} (\frac{α - 2 α ^{3}}{12}) = \frac{1 - 6 α ^{2}}{12}

となる。いま $0 < α ≦ \frac{1}{6}$ では $1 - 6 α^{2} ≧ 0$ であるから， $S$ はこの範囲で単調に増加する。

よって最大値は $α = \frac{1}{6}$ のときに得られる。このとき $β = \frac{1}{6 α} = \frac{1}{6}$ であり，条件 $α ≦ β$ も満たす。最大値は

\frac{1}{12} (\frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{1}{6 6}) = \frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3 6} = \frac{1}{18 6}

である。

東京大学 2008年度文系数学 第1問

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文系数学第1問