問題
座標平面上の3点，，に対し，をみたす点の軌跡を求めよ。ただしとする。
方針
とおき， の長さが でないことを確認したうえで，2つの角の余弦が等しい条件に直す。分母を払う際に二乗を用いると，候補として ，， が現れる。ただし二乗は符号条件を失うため，これはまだ十分条件ではない。最後に元の角の条件へ戻し， 上では線分 の外側だけ，単位円上では上半円だけが残ることを個別に確認する。
解答
とおく。 であるから，以下に現れる はいずれも でない。
ベクトルを用いて余弦を表す。 は と のなす角， は と のなす角であるから，条件は
である。ここでは両辺とも で割った後の形になっている。
この式を二乗して分母を払うと， であり，左辺は に因数分解される。したがって候補は である。
ここからは元の角の条件に戻って調べる。
まず のとき，点 と は 軸に関して対称であり，点 と はともに 軸上にある。したがって ならば は対称軸であり， は と のなす角を二等分する。よって条件を満たす。
次に とする。 が線分 の外側，すなわち にあるとき， と は から見て同じ向きの半直線上にあるので， とのなす角は等しい。一方， では と は をはさんで反対側にある。したがって2つの角は互いに補角になり，等しくなるにはどちらも直角でなければならない。その場合は ，すなわち であり，これはすでに の場合に含まれている。 はそれぞれ なので除く。
最後に とする。元の式で二乗前の符号を確認する。単位円上では である。 ならば と はともに正であり，二乗して得た等式から元の等式も成り立つ。したがって上半円は条件を満たす。 では となるので，二乗前の両辺の符号が逆になり，元の等式は成り立たない。 の2点は であり除かれる。
以上より，求める軌跡は の和集合である。
別解。候補式は角の二等分線の性質からも得られる。点 が2直線 のなす角の二等分線上にあるためには， から2直線 までの距離が等しい。距離を計算すると
となり，二乗して整理すれば同じく を得る。この方法も内角・外角の二等分線をまとめて拾うので，最後に元の角へ戻す確認が必要であり，残る範囲は上と同じである。