問題
を正の整数とする。実数，，に対する方程式
を考える。
(1) のとき，上の方程式を満たす正の整数の組で，となるものをすべて求めよ。
(2) のとき，上の方程式を満たす正の実数の組は存在しないことを示せ。
出典：東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
(1)では を の順序条件で絞る。 は因数分解で解け， は不等式で排除する。 では を使い，右辺 が左辺 より大きくなることを示す。(2)は相加相乗平均により と評価すれば，方程式の右辺 と矛盾する。
解答
(1)
のとき，方程式は である。 は正の整数で， とする。
まず の場合を考える。このとき であるから となる。両辺に1を加えて である。 なので，正の整数解は だけであり， である。したがって を得る。
次に の場合を考える。このとき であり，方程式は である。条件 を用いると である。 だから である。したがって となり，方程式は成り立たない。
最後に の場合を考える。このとき である。 なので である。一方 である。したがって となり，方程式は成り立たない。
以上より，求める組は だけである。
(2)
を正の実数とする。相加相乗平均より である。したがって である。
もし が成り立つなら，これと上の不等式から となる。しかし は正の実数なので であり，これは不可能である。よって である。