東京大学 2006年度
文系数学 第2問

解答

(1)

最初に $\times$ が1個表示されている。$\times$ が合計3個出る前に $\circ$ が2個出ればよいので，操作後の列として許されるものは

である。

それぞれの確率を求める。最初の列は，$\times$ から $\circ$ へ変わり，次に $\circ$ が続くので $(1-p)p$ である。2番目の列は $p(1-p)p$ である。3番目の列は，毎回前と異なる記号に変わるので $(1-p{)}^3$ である。したがって

である。

(2)

$\circ$ が3個出る前に，追加で出てよい $\times$ は高々1個である。

追加の $\times$ が出ない場合，列は $\times \circ \circ \circ$ であり，確率は $(1-p)p^2$ である。

追加の $\times$ が最初の操作で出る場合，列は $\times \times \circ \circ \circ$ であり，確率は $p(1-p)p^2$ である。

追加の $\times$ が，少なくとも1個の $\circ$ が出た後に現れる場合を考える。この $\times$ は，1個目の $\circ$ の後，または2個目の $\circ$ の後に入るので2通りである。どちらの場合も，$\times$ から $\circ$ へ変わる，途中で $\circ$ から $\times$ へ変わる，さらに $\times$ から $\circ$ へ変わる，という3回の変化があり，残り1回は $\circ$ が続く。したがって各確率は $(1-p{)}^{3}p$ である。よって

である。

(3)

$n\geqq 4$ とする。追加の $\times$ がない場合，最初に $\times$ から $\circ$ へ変わり，その後 $\circ$ が $n-1$ 回続くので，確率は $(1-p)p^{n-1}$ である。

追加の $\times$ が最初の操作で出る場合，最初に $\times$ が続き，次に $\circ$ へ変わり，その後 $\circ$ が $n-1$ 回続くので，確率は $p(1-p)p^{n-1}$ である。

最後に，少なくとも1個の $\circ$ が出た後に追加の $\times$ が1回だけ出る場合を考える。この追加の $\times$ は，1個目の $\circ$ の後から $(n-1)$ 個目の $\circ$ の後までのいずれかに入るので，位置は $n-1$ 通りである。どの位置でも，記号が変わる回数は3回で，$\circ$ が続く回数は $n-2$ 回である。したがって各確率は $(1-p{)}^3{p}^{n-2}$ である。

以上より

である。

別解。状態を「現在の最後の記号」と「追加の $\times$ の個数」で分けてもよい。成功するには，追加の $\times$ が0個のまま $\circ$ を重ねる経路，最初の操作で追加の $\times$ を使う経路，途中で一度だけ $\circ \to \times \to \circ$ と戻る経路の3種類しかない。これは上の3項 $(1-p)p^{n-1},p(1-p)p^{n-1},(n-1)(1-p{)}^3{p}^{n-2}$ に対応しており，同じ一般式を得る。