問題
四角形が，半径の円に内接している。この四角形の周の長さが44で，辺と辺の長さがいずれも13であるとき，残りの2辺との長さを求めよ。
出典：東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
半径 の円の弦の長さを，対応する中心角の半分で表す。 から，その半角 は ， と決まる。残りの辺 に対応する半角を とおくと，4辺が円を一周するので である。周長から を得て，三角関数の和積公式で を決め，最後に を求める。別解として，対角線 と余弦定理からも同じ積を出せる。
解答
円の半径を とする。円の弦の長さは，その弦に対応する中心角を とすると である。
辺 ， に対応する中心角の半分をどちらも とおく。 より である。したがって であり， だから である。
次に，辺 ， に対応する中心角の半分をそれぞれ とする。4つの弧で円を一周するので すなわち である。よって であり， だから である。また
である。
周の長さが44で， だから である。一方 であるから であり， となる。
和積公式より
である。ここで
である。したがって より を得る。よって である。
したがって
である。ゆえに
である。 ， だから， は2次方程式 の2解である。よって となり， である。どちらが でどちらが であるかは，図の取り方を入れ替えると交換される。
別解。 に対応する半角を とすると，対角線 は中心角 に対応する弦である。したがって である。また， は弧 に対する円周角なので である。 とおくと であり，三角形 に余弦定理を用いて となる。 を代入すると であり， を得る。よって同じく である。