問題
を正の実数とする。空間において
をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。
出典：東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
3つの条件はいずれも座標の符号を変えても不変なので，第1八分体で体積を求めて8倍する。また半径 に関して相似なので，まず を計算し最後に 倍する。第1八分体では を固定し， の上限を から，下限を から決める。上下限が両立する条件は で，さらに があるため， 平面の領域は第1象限の単位円内で の部分になる。積分を2つに分け，必要なところで積分順序を入れ替えて計算する。
解答
まず の場合を考える。一般の では， をそれぞれ 倍する相似変換により長さが 倍，体積が 倍になる。したがって最後に を掛ければよい。
3つの条件 はいずれも の符号を個別に変えても変わらない。よって第1八分体の体積を とすると，全体の体積は である。
第1八分体で とする。 を固定すると， より である。また より である。したがって の長さは である。ただし，これが0以上でなければならないので すなわち が必要十分である。
さらに がある。第1象限で かつ を満たす範囲は である。よって
となる。
これを と分ける。ただし および である。
まず
である。ここで
であり，
である。したがって である。
次に を計算する。積分領域は である。積分順序を変えると， では ， では となる。よって
である。各項を計算すると かつ だから である。
したがって
である。よって のときの全体の体積は である。
以上より，一般の に対する体積は である。