問題
に対しとする。
(1) に対しの第次導関数は，数列，を用いて
と表されることを示し，，に関する漸化式を求めよ。
(2) とおく。を用いて，の一般項を求めよ。
出典：東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1)は を直接確かめたうえで，仮定した形を微分し，分子の定数項と の係数を比較する。微分により分母の次数が1つ増え，分子は再び「定数項 + の係数」の形になるので，数学的帰納法で表示が示せる。(2)はまず から を求め，次に と正規化して調和和の漸化式に直す。別解として，積の高階微分公式を用いると一般項を直接確認できる。
解答
(1)
まず である。したがって とおけば， のとき表示は成り立つ。
ある について と表されていると仮定する。これを微分すると
である。よって のときも同じ形で表され，係数は を満たす。以上より，すべての について表示が成り立つ。
(2)
まず より，符号と階乗を追うと である。実際， で正しく， なら となる。
次に を求める。 を漸化式に代入して である。ここで とおく。 より である。また だから，両辺を で割って を得る。したがって である。よって である。
別解。一般項は積の微分公式から直接求めることもできる。 と見る。 に対して であり，また である。したがって
となる。よって であり，先に求めた と一致する。