問題
片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が3枚ある。この3枚の板を机の上に横に並べ，次の操作を繰り返し行う。
さいころを振り，出た目が1，2であれば左端の板を裏返し，3，4であればまん中の板を裏返し，5，6であれば右端の板を裏返す。
(1) 「白白白」から始めて，3回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。
(2) 「白白白」から始めて，回の操作の結果，色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。
注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。
方針
(1)は3回の操作で左端だけが奇数回、残り2枚が偶数回選ばれる列を数える。(2)は操作回数の偶奇で到達できる配置が分かれる。偶数回後には黒い板の枚数が偶数なので「白黒白」は不可能であり、「白白白」の確率だけを求める。奇数回後には「白白白」は不可能であり、「白黒白」の確率だけを求める。偶数回は黒0枚状態の確率、奇数回は黒1枚状態全体の確率を2回操作ごとの漸化式で求め、最後に対称性から特定配置の確率へ直す。
解答
(1)
1回の操作は、左端・まん中・右端のうち1枚を等確率で選んで裏返す操作である。3回後に「黒白白」となるには、左端が奇数回、まん中と右端が偶数回選ばれる必要がある。
左端が3回選ばれる場合は1通りである。左端が1回だけ選ばれる場合は、左端を選ぶ回が3通りあり、残り2回はまん中だけ、または右端だけにそろう必要があるので 通りである。したがって有利な操作列は 通りであり、全操作列は 通りだから、求める確率は である。
(2)
まず が偶数の場合を考える。偶数回後には黒い板の枚数も偶数であるから、「白黒白」にはならない。したがって「白白白」となる確率を求めればよい。 回後に「白白白」である確率を とする。偶数回後には黒い板の枚数は0枚または2枚である。黒0枚の状態から2回操作して再び黒0枚になるには、2回とも同じ板を選べばよい。これは3通りなので確率は である。黒2枚の状態から2回操作して黒0枚になるには、その黒い2枚を1回ずつ選べばよい。順序が2通りあるので確率は である。
したがって
である。初期値は である。固定値 は なので、 である。よって
を得る。問題の操作回数は正なので、偶数の場合は , として用いる。
次に が奇数の場合を考える。奇数回後には黒い板の枚数が奇数であるから、「白白白」にはならない。したがって「白黒白」となる確率を求めればよい。 回後に黒い板が1枚である確率を とする。黒1枚状態から2回後も黒1枚である確率は、2回同じ板を選ぶ3通りと、黒1枚・白1枚を1回ずつ選ぶ4通りを合わせて である。黒3枚状態から2回後に黒1枚となる確率は、異なる2枚を選ぶ6通りに対応するので である。したがって
である。 だから、文科第4問と同様に となる。
黒い板が1枚である3つの配置「黒白白」「白黒白」「白白黒」は対称である。したがって「白黒白」となる確率は、この3分の1であり、
である。
以上より、求める確率は
である。
別解。偶奇を直接数えてもよい。 回後に「白白白」となる操作列は、3枚すべてが偶数回選ばれる列であり、その数は偶奇を抽出して 通りである。したがって確率は
である。また、 回後に「白黒白」となる操作列は、まん中だけが奇数回、左右が偶数回選ばれる列であり、その数は 通りである。したがって確率は
であり、同じ結果を得る。