問題
半径10の円がある。半径3の円板を，円に内接させながら，円の円周に沿って滑ることなく転がす。円板の周上の一点をとする。点が，円の円周に接してから再び円の円周に接するまでに描く曲線は，円を2つの部分に分ける。それぞれの面積を求めよ。
方針
円 の中心を原点、最初の接点を に取る。半径3の円板の中心は半径 の円を動くので と置ける。内側を滑らずに転がる条件から、点 の円板中心に対する向きは中心の回転に対して逆向きに だけ回転する。これで の媒介変数表示を作り、 となる最初の を求める。面積は、曲線が原点に対して掃く面積 と、円 の対応する扇形面積との差で求める。
解答
円 の中心を原点 とし、最初に点 が で円 に接しているとする。円板 の中心を とすると、 は半径 の円周上を動く。そこで とおく。
円板が滑らずに内側を転がるので、中心 が角 だけ進む間に、円板は中心のまわりに逆向きに だけ回転する。したがって点 の座標は
と表される。
次に、点 が再び円 の円周に接する時刻を求める。上の式から
である。円 の円周上にある条件は であるから、 すなわち である。 で最初にこれが成り立つのは のときなので、 である。
曲線と円 の円弧で囲まれる小さい方の面積を求める。まず、点 が描く曲線と原点 を結ぶ線分が掃く面積は、微小な三角形の面積を足し合わせる考えから である。ここで上の媒介変数表示を微分して整理すると となる。よって曲線が掃く面積は
である。 とおくと、 から まで動くとき は から まで動くので、
である。
一方、最初と次の接点を結ぶ円 の弧に対応する扇形の中心角は である。したがってその扇形の面積は である。曲線はこの扇形の内部を通るので、曲線と円弧で囲まれる小さい方の面積は である。
円 全体の面積は であるから、もう一方の面積は である。したがって求める2つの面積は である。