東京大学 2004年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$F(x)=x^3-3x$ とおく。すると $f_1(x)=F(x)$ である。 $F^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ より、$F$ は $(-\infty ,-1)$ で増加、$(-1,1)$ で減少、$(1,\infty )$ で増加する。また $F(-1)=2,F(1)=-2$ である。したがって $f_1(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数は

である。

(2)

$f_2(x)=F(F(x))$ である。外側の値を $u=F(x)$ とおいて、まず $F(u)=a$ の実数解を調べ、その各 $u$ について $F(x)=u$ の実数解の個数を足し合わせる。 $|a|>2$ のとき、$F(u)=a$ は実数解を1個だけもつ。$a>2$ ならその解は $u>2$、$a<-2$ なら $u<-2$ である。いずれの場合も $F(x)=u$ は実数解を1個だけもつ。したがって $f_2(x)=a$ の実数解は1個である。 $a=2$ のとき、$F(u)=2$ は $u^3-3u-2=(u-2)(u+1{)}^2=0$ より、異なる実数解として $u=-1,2$ をもつ。$F(x)=-1$ は $-2<-1<2$ より3個の実数解をもち、$F(x)=2$ は極大値に対応するので2個の実数解をもつ。よって合計 $3+2=5$ 個である。$a=-2$ のときも同様に、$F(u)=-2$ の異なる解は $u=-2,1$ であり、$F(x)=-2$ が2個、$F(x)=1$ が3個の実数解をもつので、合計5個である。 $-2<a<2$ のとき、$F(u)=a$ は3個の実数解をもつ。さらにその3解はそれぞれ $-2<u<-1,-1<u<1,1<u<2$ に入る。したがって各 $u$ に対して $F(x)=u$ は3個の実数解をもつので、合計 $3\cdot 3=9$ 個である。

以上より、$f_2(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数は

である。

(3)

まず、$-2<a<2$ のとき $F(x)=a$ は3個の実数解をもち、その3解はいずれも $(-2,2)$ に入ることを確認しておく。これは(1)の増減から、3つの解がそれぞれ $(-2,-1)$, $(-1,1)$, $(1,2)$ に1個ずつあるためである。

この事実を用いて、任意の $m\geqq 1$ について、$-2<a<2$ ならば $f_m(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数が $3^m$ であることを帰納法で示す。 $m=1$ のときは(1)より成り立つ。$m$ で成り立つと仮定する。$f_{m+1}(x)=a$ は $F(f_m(x))=a$ である。$F(u)=a$ の3個の実数解を $u_1,u_2,u_3$ とすると、上で述べたように $-2<u_i<2(i=1,2,3)$ である。帰納法の仮定より、それぞれの方程式 $f_m(x)=u_i$ は $3^m$ 個の実数解をもつ。また $u_1,u_2,u_3$ は互いに異なるので、これらの解集合は重ならない。したがって $f_{m+1}(x)=a$ の実数解は $3\cdot 3^m=3^{m+1}$ 個である。

よって主張はすべての $m\geqq 1$ で成り立つ。特に $a=0$ は $-2<0<2$ を満たすので、$n\geqq 3$ に対して $f_n(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数は $3^n$ である。