問題
自然数の2乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。
(1) 10進法で表して3桁以上の平方数に対し，10の位の数を，1の位の数をとおいたとき，が偶数となるならば，は0または4であることを示せ。
(2) 10進法で表して5桁以上の平方数に対し，1000の位の数，100の位の数，10の位の数，および1の位の数の4つすべてが同じ数となるならば，その平方数は10000で割り切れることを示せ。
方針
(1)は平方数の下2桁だけの問題なので、 で割った余りを見る。平方数の での余りは に限られる。一方、 が偶数なら十の位 と一の位 は同じ偶奇であり、下2桁 の での余りを偶奇別に絞れる。(2)は下4桁を と置き、(1)で または まで絞る。 は平方数の での余りに反するので排除し、下4桁が であることを示す。
解答
(1)
任意の整数を で割った余りは のいずれかである。これらを2乗して で割った余りを調べると、平方数の余りは のいずれかに限られる。
平方数の下2桁を とする。 が偶数であるから、 と は同じ偶奇である。
まず がともに奇数であるとする。このとき は で割ると 余り、 は奇数であるから、 を で割った余りは のいずれかである。しかし、これらは上で求めた平方数の余りに含まれない。したがってこの場合は起こらない。
次に がともに偶数であるとする。このとき は で割り切れるので、 を で割った余りは のいずれかである。このうち平方数の余りになり得るのは だけである。したがって一の位 は である。
(2)
下4桁の数字がすべて同じであるとし、その数字を とする。すると下2桁は であり、十の位と一の位の和は で偶数である。よって(1)より である。
もし なら、下4桁は である。ところが であるから である。一方、整数を で割った余りを2乗して調べると、平方数の での余りは のいずれかであり、 にはならない。したがって は不可能である。
よって でなければならない。つまり下4桁は である。したがって、その平方数は で割り切れる。